무리수도 꽤나 규칙적이다

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$\sqrt{2}$는 무리수입니다. 무리수는 소수점 아래 자리수가 끝이 없고, 순환하지 않는 무한 소수이므로 불규칙하다고 생각할 수 있습니다.

$$\sqrt{2}=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379\cdots$$

그러나 $\sqrt{2}$는 다음과 같이 유리화를 이용해 분리할 수 있고, $\sqrt{2}$가 양변에 다시 나타나므로 이 과정을 반복한다면

$$\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$

$\sqrt{2}$를 $2$가 반복되는 무한 연분수(continued fraction)로 나타낼 수 있습니다. 소수에서는 불규칙할지 모르나 연분수로 나타내면 꽤나 간단하면서 $[1;2,2,2,\dots ]$로 상당히 규칙적으로 표현할 수 있죠.

$$\begin{array}{rl}\sqrt{2}& =1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\\ \\ & =1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}\end{array}$$