초월수의 신비와 무한의 다양성

초월수의 미스터리

 

초월수가 존재해야 할 이유는 처음에는 명확하지 않았습니다. 더구나, 어떤 수가 초월수인지 증명하는 것은 굉장히 어려운 일입니다. 왜냐하면 이것은 부정적인 것, 즉 그 수가 정수 계수를 가진 다항식의 루트가 아니라는 것을 증명해야 하기 때문입니다.

1844년, Joseph Liouville은 이 문제에 간접적인 방법으로 접근하여 첫 번째 초월수를 발견했습니다. 그는 무리수 중 대수적인 수는 유리수로 잘 근사할 수 없다는 것을 발견했습니다. 그래서 그는 분모가 작은 분수로 잘 근사할 수 있는 수를 찾을 수 있다면, 그것은 다른 무언가, 즉 초월수일 것이라고 판단했습니다. 그리고 그는 그러한 수를 구성했습니다.

Liouville이 만든 수 \( L \)은 다음과 같습니다.

\[
L = 0.1100010000000000000000010\ldots
\]

이 수는 0과 1만을 포함하며, 1은 \( n! \)의 값에 해당하는 특정 위치에 나타납니다. 따라서 첫 번째 1은 첫 번째(1!) 자리에, 두 번째 1은 두 번째(2!) 자리에, 세 번째 1은 여섯 번째(3!) 자리에 나타나는 식입니다. 그의 세심한 구성 덕분에 \( \frac{1}{10} \), \( \frac{11}{100} \), \( \frac{110001}{1000000} \)은 모두 \( L \)의 매우 좋은 근사값입니다. 분모의 크기를 고려할 때 예상보다 훨씬 좋습니다. 예를 들어, 이 중 세 번째 값은 3! (여섯) 소수 자릿수, 0.110001을 가지지만, \( L \)과 총 23자리, 즉 \( 4! - 1 \)까지 일치합니다.

그럼에도 불구하고, \( L \)이 초월수가 존재한다는 것을 증명했지만, \( \pi \)는 Liouville의 기준을 만족시키지 않습니다(유리수로 잘 근사할 수 없습니다). 그래서 그 분류는 여전히 미궁 속에 있습니다.

 

초월수의 진화

1873년에 중요한 돌파구가 있었습니다. Charles Hermite는 자연로그의 밑인 \( e \)가 초월수임을 증명하기 위한 뛰어난 기술을 고안했습니다. 이것은 첫 번째 '인위적이지 않은' 초월수였고, 9년 후에 Ferdinand von Lindemann은 Hermite의 기술을 확장하여 \( \pi \)가 초월수임을 증명했습니다. 실제로 그는 더 나아가, \( d \)가 0이 아닌 대수적 수일 때 \( e^d \)가 초월수임을 보였습니다. 다시 말해서, \( e^d \)가 대수적이라면, \( d \)는 0이거나 초월수입니다.

\( \pi \)가 초월수임을 증명하기 위해, Lindemann은 수학에서 가장 아름다운 공식으로 여겨지는 오일러의 정체성 \( e^{\pi i} = -1 \)을 사용했습니다. -1은 대수적이므로, Lindemann의 정리에 따르면 \( \pi i \)는 초월수입니다. 그리고 \( i \)는 대수적이므로, \( \pi \)는 초월수여야 합니다. 따라서 길이가 \( \pi \)인 선분은 구성할 수 없으며, 그러므로 원을 정사각형으로 변환하는 것은 불가능합니다.

Lindemann의 결과는 하나의 이야기의 끝이었지만, 초월수의 이야기에서는 그저 일찍 나온 장이었습니다. 아직 해야 할 일이 많았고, 특히 이러한 이상한 수들이 얼마나 흔한지를 고려할 때 더욱 그렇습니다.

 

무한의 다양성과 초월수의 신비

Hermite가 \( e \)가 초월수라는 것을 증명한 직후, Georg Cantor는 무한이 다양한 크기를 가진다는 것을 증명했습니다. 유리수의 무한성은 정수의 무한성과 같습니다. 이러한 집합들을 '가산 무한'이라고 부릅니다. 그러나 실수와 무리수의 집합은 더 큰 크기의 무한성을 가지며, Cantor가 정확하게 정의한 의미로 '비가산 무한'입니다. 같은 논문에서, Cantor는 대수적 수의 집합이 모든 유리수와 무한히 많은 무리수를 포함하고 있지만, 그것은 여전히 작은, 가산 무한성을 가진다고 증명했습니다. 따라서 그의 여집합인 초월수는 비가산 무한입니다. 다시 말해, 실수와 복소수의 대부분은 초월수입니다.

20세기가 시작된 후에도, 수학자들은 몇 개의 수만을 확실히 식별할 수 있었습니다. 1900년에, 그 시대의 가장 존경받는 수학자 중 하나인 David Hilbert는 수학의 가장 중요한 23개의 미해결 문제의 명단을 발표했습니다. 그의 7번 문제는, \( a \)가 대수적이고 0 또는 1이 아니며, \( b \)가 대수적인 무리수일 때, \( a^b \)가 초월수인지를 증명하는 것이었습니다.

1929년에는 젊은 러시아 수학자 Aleksandr Gelfond가 \( b = \pm i\sqrt{r} \)이고 \( r \)이 양의 유리수일 때의 특별한 경우를 증명했습니다. 이는 또한 \( e^\pi \)가 초월수라는 것을 의미합니다. 놀랍게도, 이는 정리에 필요한 조건인 \( e \)나 \( \pi \)가 대수적이지 않음에도 불구하고 성립합니다. 오일러의 정체성을 다시 한번 똑똑하게 활용하면, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\[
e^\pi = e^{-i \pi i} = (e^{\pi i})^{-i} = (-1)^{-i}
\]

 

초월수 이론의 지속적 발전

Carl Siegel은 이어서 Gelfond의 증명을 확장하여 \( b \)의 값이 실제 2차 무리수인 경우를 포함시켰습니다. 이를 통해 \( 2^{\sqrt{2}} \)가 초월수임을 결론지었습니다. 1934년에는 Gelfond와 Theodor Schneider가 독립적으로 Hilbert의 문제 전체를 해결했습니다.

초월수 이론에 대한 연구는 계속되었습니다. 1960년대 중반에 Alan Baker는 Hermite, Lindemann, Gelfond, Schneider 등의 결과를 일반화하는 일련의 논문을 발표했습니다. 그의 노력에 대한 보상으로, 그는 31세의 나이에 1970년에 Fields Medal을 수상했습니다. 이 작업의 한 결과로 \( 2^{\sqrt{2}} \times 2^{\sqrt[3]{2}} \)와 \( 2^{\sqrt{2}} \times 2^{\sqrt{3}} \)와 같은 특정한 곱셈들이 초월수임이 증명되었습니다. 숫자 자체에 대한 이해를 확장하는 것 외에도, 그의 작업은 수론 전반에 걸쳐 응용이 있습니다.

오늘날에는 초월수에 대한 미해결 문제가 많이 있으며, 분류가 알려지지 않은 많은 특별하고 '초월적으로 보이는' 수들이 있습니다: \( e\pi \), \( e + \pi \), \( e^e \), \( \pi^\pi \) 그리고 \( \pi^e \) 등이 그 예입니다. 이러한 수들이 초월수인지 아는 것이 실용적인 측면에서 유용하지 않을 수 있지만, 알 수 있다면 알지 못하는 것은 참을 수 없을 것입니다.