대칭성을 이용한 이차, 삼차방정식의 해법

이차방정식과 삼차 방정식

먼저 이차방정식의 일반적인 형태는 \( ax^2 + bx + c = 0 \)입니다. 이를 풀기 위한 공식은 아마도 대부분의 여러분이 알고 있을 것입니다. 바로 다음과 같은 공식입니다.

\[
\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

이 공식을 보면 복잡해 보이지만, 사실 이 안에는 '대칭성'이라는 아름다운 개념이 숨어 있습니다. 이 대칭성 덕분에 이차방정식은 쉽게 풀 수 있습니다. 대칭성이란, 간단히 말해 어떤 것이 반대쪽과 균형을 이루는 성질을 말합니다. 이 공식에서도 분자와 분모, 더하기와 빼기 등 여러 요소가 대칭을 이루고 있죠. 그렇다면 삼차방정식은 어떨까요? 삼차방정식의 일반적인 형태는 \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)입니다. 이차방정식처럼 쉽게 풀 수 있는 공식이 있을까요? 불행히도, 그렇지 않습니다. 삼차방정식을 풀기 위한 공식은 복잡하고, 대칭성이 덜하죠. 이 때문에 16세기 수학자들은 삼차방정식을 풀기 위해 치열한 경쟁을 벌였습니다. 그 중 몇몇은 심지어 이 문제 때문에 명예를 잃거나 인생을 망칠 정도였죠.

이차함수의 근

가장 기본적인 방정식은 \( f(x) = 0 \)입니다. 이 방정식은 어떤 입력 \( x \)가 출력 0을 반환하는지를 묻습니다. 이러한 해를 함수의 '영점' 또는 '근'이라고도 부릅니다.

그럼 쉬운 예제로 시작해볼까요? \( f(x) = x^2 - 9 \)의 근은 무엇일까요? 이를 찾기 위해 \( f(x) = 0 \)을 풀면 됩니다.

\[
\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
x^2 - 9 &= 0 \\
x^2 &= 9 \\
x &= \pm 3
\end{align*}
\]

이 근을 찾기는 쉽습니다. 왜냐하면 이 방정식은 _x_를 분리하기만 하면 되기 때문이죠. 마지막 줄에 있는 \( \pm \) 기호에 주목해주세요. 이는 3과 -3 모두 제곱하면 9가 되는 성질을 가지고 있기 때문입니다. \( f(3) = f(-3) = 0 \)을 확인하면 이 값들이 정말로 \( f(x) \)의 출력을 0으로 만든다는 것을 알 수 있습니다. 이 \( \pm \) 기호는 이 상황에서 내재된 대칭성을 가리킵니다. 이차함수는 두 개의 근을 가지고 있고, 이 두 근을 수직선 위에 놓으면 \( x = 0 \)을 중심으로 대칭을 이루고 있음을 알 수 있습니다.

복잡한 이차함수의 근 찾기

모든 포물선에는 그 포물선을 두 개의 대칭된 부분으로 나누는 대칭축이 있습니다. \( f(x) = x^2 - 9 \)의 경우 대칭축은 _y_-축, 즉 \( x = 0 \) 선입니다. 이 함수를 일반적인 방법으로 그래프로 나타내면, 그 근을 _x_-축에서 _y_-축을 중심으로 대칭되게 볼 수 있습니다.

이번에는 좀 더 복잡한 이차함수 \( f(x) = x^2 - 8x - 9 \)의 근을 찾아보겠습니다.

\[
\begin{align*}
f(x) &= 0 \\
x^2 - 8x &= 9
\end{align*}
\]

이전과 같이 \( f(x) \)를 0으로 놓고 9를 오른쪽으로 옮겼습니다. 하지만 이번에는 \(x\)를 분리하기 위해 양변에 제곱근을 취할 수 없습니다. \(x\)가 들어 있는 다른 항이 방해를 하기 때문이죠. 그러나 이 함수도 모든 이차함수처럼 대칭성을 가지고 있습니다. 이 대칭성을 활용하려면 약간의 대수학적 조작이 필요합니다.

함수 \( f(x) = x^2 - 8x - 9 \)를 \( f(x) = x(x - 8) - 9 \)로 다시 쓰겠습니다. 이제 \( x(x - 8) \) 부분에 주목해주세요. 이 부분은 _x = 0_ 또는 _x = 8_일 때 0이 됩니다. 이로 인해 \( f(0) \)과 \( f(8) \)은 -9라는 같은 값을 가집니다. 이것은 포물선 위에 두 개의 대칭된 점을 주고, 대칭축이 \( x = 0 \)과 \( x = 8 \)을 중앙으로 나눠야 하므로, 대칭축은 \( x = 4 \) 선이 됩니다.

대칭성을 찾았으니 이제 이를 활용할 차례입니다. 포물선을 왼쪽으로 4단위 이동시켜 대칭축을 \( x = 4 \) 선에서 \( x = 0 \) 선으로 옮기겠습니다. 이러한 이동을 대수학적으로 수행하는 간단한 방법은 모든 \(x\)를 \(x + 4\)로 바꾸는 것입니다.

$x$를 $x + 4$로 바꾸어 얻은 새로운 이차함수를 \( g(x) \)라고 부르겠습니다. 즉, \( g(x) = f(x + 4) \)입니다. \( g(x) \)를 단순화해보면 다음과 같습니다.

\[
\begin{align*}
g(x) &= f(x + 4) \\
g(x) &= (x + 4)^2 - 8(x + 4) - 9 \\
g(x) &= x^2 + 8x + 16 - 8x - 32 - 9 \\
g(x) &= x^2 - 25
\end{align*}
\]

분배법칙을 몇 번 적용하고 유사항을 모으면, 새로운 이차함수의 $x$ 항이 사라집니다. 이로 인해 \( g(x) \)의 근을 찾기가 쉬워집니다.

\[
\begin{align*}
g(x) &= 0 \\
x^2 - 25 &= 0 \\
x^2 &= 25 \\
x &= \pm 5
\end{align*}
\]

\( g(x) \)의 근은 \( x = \pm 5 \)이므로, 원래의 함수 \( f(x) = x^2 - 8x - 9 \)의 근을 찾으려면 \( g(x) \)의 근을 오른쪽으로 4단위 이동시키면 됩니다. 이로써 \( f(x) \)의 근은 \( 4 \pm 5 \), 즉 9와 -1이 됩니다. \( f(9) = f(-1) = 0 \)을 계산하여 이 값들이 정확한지 확인할 수 있습니다.

임의의 이차함수 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)가 주어졌을 때, 항상 같은 방식으로 대칭축을 찾을 수 있습니다.

\[
\begin{align*}
f(x) &= ax^2 + bx + c \\
f(x) &= x(ax + b) + c
\end{align*}
\]

이 형태에서 \( f(0) = f\left(-\frac{b}{a}\right) = c \)임을 알 수 있습니다. 즉, 대칭축은 \( x = 0 \)과 \( x = -\frac{b}{a} \) 사이의 중간에 위치합니다. 다시 말해, 임의의 이차함수 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)의 대칭축은 \( x = -\frac{b}{2a} \) 선입니다. 이것은 이차방정식의 공식에도 숨어 있습니다.

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

이를 다음과 같이 다시 쓰면 더 명확해집니다.

\[
x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

이차방정식 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)의 근은 \( x = -\frac{b}{2a} \)를 중심으로 대칭입니다. 이 대칭성을 활용하여 \( f(x) \)를 \( -\frac{b}{2a} \)만큼 이동시키면 _x_ 항이 사라지고, 근을 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 과정을 통해 이차방정식의 공식을 얻을 수 있습니다.

하지만 이런 대칭성의 힘을 삼차방정식에 적용하려고 하면 문제가 생깁니다. 삼차함수의 그래프도 대칭성을 가지고 있지만, 그것은 근을 찾는 데 도움이 되지 않는 '점 대칭성'입니다. 점 대칭성이란 삼차함수의 그래프에 특별한 점이 있어, 그 점을 지나는 선이 그래프와 어디든지 교차하면, 그 교차점을 중심으로 대칭적으로 다시 교차한다는 것입니다.

이차방정식의 근은 대칭축 \(x = -\frac{b}{2a}\)에 대해 대칭입니다. 이러한 대칭성을 이용하면 이차방정식을 쉽게 풀 수 있습니다.

\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\]

이차방정식을 \(x = -\frac{b}{2a}\)만큼 이동(translate)하면 \(x\) 항이 사라집니다. 이렇게 하면 근을 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 과정을 거치면 이차방정식의 일반적인 해를 얻을 수 있습니다. 이것이 바로 이차방정식의 공식입니다.

이차방정식에서의 대칭성을 이용한 성공으로 우리는 세차방정식에도 비슷한 전략을 적용해 볼 수 있습니다. 그러나 세차방정식의 그래프는 '점 대칭성(point symmetry)'을 가집니다. 이것은 그래프에 특별한 점이 있어, 그 점을 지나는 선이 그래프와 어디든지 교차하면, 그 교차점들은 그 점을 중심으로 대칭입니다.

이러한 대칭성은 강력하지만, 근을 찾는 데에는 도움이 되지 않습니다. 그 이유는 함수의 근이 그래프가 수평선 \(y=0\) (즉, \(x\)-축)과 교차하는 지점이기 때문입니다. 일반적으로 이러한 교차점들은 세차방정식의 특별한 대칭점을 중심으로 대칭이 아닙니다.

사실, 세차방정식은 하나의 근만 가질 수도 있습니다. 그런 경우에는 대칭성이 전혀 없습니다.

그러나 이차방정식에서 배운 것이 도움이 될 수 있습니다. 이차방정식 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)의 근이 \(r_1\)과 \(r_2\)라면, 이차방정식을 다음과 같이 인수분해할 수 있습니다.

\[
f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)
\]

이를 전개하면 다음과 같이 됩니다.

\[
f(x) = a(x^2 - xr_2 - r_1x + r_1r_2)
\]
\[
f(x) = a(x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1r_2)
\]
\[
f(x) = ax^2 - a(r_1 + r_2)x + ar_1r_2
\]

이 형태는 근 \(r_1\)과 \(r_2\)의 합과 곱을 쉽게 알 수 있게 해줍니다. 이것은 세차방정식에서도 유용하게 적용될 수 있습니다. 이러한 대칭성과 변환을 이해하는 것은 방정식을 풀 때 매우 유용합니다.

이차방정식에서 \(x\) 항의 계수는 두 근 \(r_1\)과 \(r_2\)의 합과 관련이 있습니다. 이것은 비에타(Vieta)의 공식 중 하나와 관련이 있습니다. 이차방정식 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)가 주어졌을 때, 두 근의 합은 항상 \(-\frac{b}{a}\)입니다. 이를 증명하기 위해 이차방정식의 일반 형태와 인수분해된 형태를 같게 놓고 비교할 수 있습니다.

\[
ax^2 + bx + c = ax^2 - a(r_1 + r_2)x + ar_1r_2
\]

두 다항식이 같다면 그들의 해당 계수도 같아야 합니다. 이 경우에는 \(x\) 항의 계수가 같아야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\[
b = -a(r_1 + r_2)
\]

그리고 나서 양변을 나눕니다:

\[
r_1 + r_2 = -\frac{b}{a}
\]

이 식을 2로 나누면 흥미로운 사실을 알 수 있습니다. 이차방정식의 두 근의 평균은 대칭축의 \(x\)-값과 같습니다.

\[
\frac{r_1 + r_2}{2} = -\frac{b}{2a}
\]

이것은 상식적으로도 이해가 됩니다. 대칭축은 두 근의 정확한 중간에 위치해야 하며, 두 수의 평균은 그들 사이의 정확한 중간에 있는 수입니다.

이 새로운 관계를 우리가 이전에 했던 변환의 맥락에서 고려해 보면, 대칭축을 \(x = -\frac{b}{2a}\)에서 \(x=0\)으로 이동시키면 두 근의 평균도 \(-\frac{b}{2a}\)에서 0으로 바뀝니다.

근의 평균이 0이라면 근의 합도 0이어야 하고, 이 근의 합은 이차방정식의 인수분해된 형태에서 나타납니다.

\[
f(x) = ax^2 - a(r_1 + r_2)x + ar_1r_2
\]

## 삼차방정식과 근의 대칭성: 비에타의 공식 확장하기

이차방정식에서 근의 대칭성을 활용한 방법을 삼차방정식에도 적용해 볼 수 있습니다. 일반적인 삼차방정식 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)가 있다고 가정하면, 이 방정식의 근이 \(r_1, r_2, r_3\)라고 할 수 있습니다. 이 경우에도 방정식을 인수분해된 형태로 쓸 수 있죠.

\[
f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)
\]

이를 전개하면 다음과 같습니다.

\[
f(x) = ax^3 - a(r_1 + r_2 + r_3)x^2 + a(r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3)x - ar_1r_2r_3
\]

이를 일반 형태의 삼차방정식과 비교하면, 비에타의 공식에 따라 세 근의 합은 \(-\frac{b}{a}\)가 됩니다.

\[
r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a}
\]

이를 3으로 나누면 세 근의 평균이 \(-\frac{b}{3a}\)임을 알 수 있습니다.

\[
\frac{r_1 + r_2 + r_3}{3} = -\frac{b}{3a}
\]

이제 이 값을 이용해 삼차방정식을 변환할 수 있습니다. 즉, \(g(x) = f\left(x - \frac{b}{3a}\right)\)로 변환하면, 이를 '압박된(depressed)' 삼차방정식이라고 합니다. 이는 \(x^2\) 항이 없다는 것을 의미합니다.

\[
g(x) = ax^3 + mx + n
\]

이러한 변환은 삼차방정식의 근을 찾는 데 있어 매우 유용한 도구가 될 수 있습니다. 이는 16세기에 카르다노(Cardano)와 타르탈리아(Tartaglia) 사이의 유명한 논쟁에서도 중요한 역할을 했습니다. 이 논쟁은 수학적으로 매우 흥미로운 결론을 가지고 있습니다: 모든 삼차방정식을 압박된 삼차방정식으로 변환할 수 있고, 압박된 삼차방정식의 근을 찾을 수 있는 능력은 모든 삼차방정식을 풀 수 있음을 의미합니다.