[롤드컵] 다전제 통계 분석🎲 feat. 첫경기의 중요성

우리는 많은 스포츠 경기들을 접한다.

자신이 응원하는 팀이 있으면 며칠 전부터 기다리면서 두근두근대고

경기가 있는 날이면 아침부터 친구들과 경기 분석을 한다.

중요한 경기는 대게 다전제(3판 2선, 5판 3선 등)로 진행되는데

이때 해설자들이 첫 경기의 중요성에 대해서 계속 말을 한다.

다전제 첫 승은 얼마나 중요하길래 그런지 알아보도록하자.

 

먼저 시작 전에 하나의 가정을 하고 가자.

두 팀의 실력이 일정하고 따라서 승률은 1/2이라 하겠다.

이길 확률이 정해져있으니 독립시행의 확률을 이용해

계산을 하겠다 생각을 했다면 고등학교떄 공부를 열심히 한것이다.

하지만 독립시행의 확률을 이용해 계산을 하려하면

조금 문제가 생긴다.

왜냐하면 만약 1,2,3 경기를 모두 이겨버린다면

4,5 경기는 하지 않기때문이다.

따라서 이 경우에는 방법이 없다.

우리는 손가락과 발가락이 있으니 모든 경우를 세보기로하겠다.

 

5판 3선승의 다전제경기에서

첫번째 경기를 이겼다고 해보자

그렇다면 남은 경기들의 경우의 수는

다음과 같이 6가지 경우가 나온다.

 

이러한 6가지 경우에 대해 각각 확률을 계산해 보면

다음과 같다.

 

결과적으로 첫번째 경기를 이겼을때

5판 3선승의 다전제경기를 승리할 확률은 68.75%

약 70%이다.

만약 첫번째 경기를 패하더라도

우리는 30%의 승률이 있기에 꽤나 큰 희망을 갖는다.

10강 강화템을 10% 확률로 강화하는데 기도 한 번하고 지르고

뽑기 확률이 1%도 안되는데 수십만원을 투자하는

우리 모습이 이를 반증한다.

그렇다면 디테일하게 각 경기별로는 어떻게 될까?

 

아까 보았듯이 1승 후 게임에서 이길 확률은 68.75%

1패 후 게임에서 이길 확률은 31.25%이다.

 

2경기 후에 경기결과는

2승, 1승 1패, 2패로 나뉘게 되는데

이때 2승을 할 경우 게임에서 이길 확률은 87.5%

1승 1패인 경우 50%

2패인 경우 12.5%이다.

 

3경기 후에 경기결과는

2승 1패 또는 1승 2패로 나뉘게 되는데

이때 2승을 할 경우 게임에서 이길 확률은 75%

1승 2패인 경우 25%이다

마지막으로 4경기까지 왔다면 5경기 한경기만 남기에

승부는 원점으로 돌아온다.

 

3판 2선승제라면 확률은 다음과 같다.

그런데 이건 이론이고 실제는 어떻게 될까?

보통 수식으로 집에서 펜굴려서 얻는 확률은 수학적 확률

실제 결과를 보고 통계적으로 얻는 확률을 통계적 확률이라 한다.

통계적 확률을 알아보기위해

2012부터 현재까지 LCK결승 및 롤드컵 8강 이후 다전제 경기에 대해

모두 분석해 보았다.

 

분석 결과 수학적으로 1승 후 게임을 이길 수학적 확률은 68.75%인 반면

통계적 확률은 64경기 중 52경기 즉 81.25%로 나왔다.

우와 한 12%정도 높네라고 생각할 수 있겠지만

오른이 될 때쯤 배우는 모비율 추정을 이용해

이런 일이 일어날 수 있는지 계산하면

1승 후 승리할 확률이 68.75%라 할 때

64경기를 했을 때 52경기 이상 승리할 확룔은

모비율을 통해 정규분포로 근사하면 3시그마수준

쉽게 말해 0.25%의 확률 1년에 하루정도 일어 날까 말까 하는 확률이다.

그런데 지금까지 축적된 결과가 왜 이런 결과를 나타내는 것일까?

생각보다 간단하다 가정을 잘못했기 때문이다.

혹시 처음에 했던 가정이 기억나는가?

우리는 두 팀이 경쟁할 때 두 팀이 이길 확률이 동등하다고 가정하였다.

그리고 결론은 너무나도 다른 확률이 나왔다.

그래서 가정이 틀렸다는 것을 반증해보겠다.

 

먼저 3경기 모두 이긴 경기를보자.

수학적으로 3경기를 모두 이길 확률은 12.5%이다.

하지만 위 통계에서 스윕할 확률은 35.93%이다.

약 3배가량 차이가 난다.

그 이유는 간단하다 그냥 한쪽이 일방적으로 잘한다고 볼 수 있는 것이다.

기억이 날지 모르겠지만 2017, 2018, 2019 롤드컵은 다 3:0경기였다.

다음으로 역스윕경기다.

흔히 우리가 패패승승승이라고 부르는데 아마 스포츠팬들이

가장 환호하는상황일 것이다.

역스윕할 수학적 확률은 6.25%인데 통계적확률은 9.51%이다.

지금 이 통계는 나의 논거를 정면으로 반박한다.

왜냐하면 한 팀이 압도적으로 잘한다고 한다면

처음부터 패패승승승은 없어야하기 때문이다.

하지만 여기에는 숨어있는 사실이 있다.

패패승승승인 경기는 2013년 이전 LCK결승에서 단 2경기뿐이고

2013년 이후 LCK결승과 Worlds 8강 이상에서는

단 한번도 역스윕 상황이 일어나지 않았다.

자 이렇다면 내 논거가 충분히 뒷바침된다고 생각하는가.

 

물론 조금의 보정이 필요하지만 결과를 정리하자면

첫판 경기의 결과가 두 팀 간의 명확한

실력차이가 있다는 것을 보여준다는 것은

통계적으로 유의미하다고 볼 수 있다.

첫 경기를 치르는 결과가 두 팀의 실력차이를 판가름 하는

수단으로 적절하다는 결론이다.

조금 말장난처럼 보이겠지만 이미 게임 전에

두 팀은 명확하게 실력차이가 있을 것이다.

하지만 그 차이가 어떻게 나는지는 붙어 보기 전까지 알 수 없고

첫 경기 결과가 그 결과를 관측할 수 있게 해준다는 것이다.

약간 양자역학 같은 느낌이지만 쨋든

 

첫 경기결과가 실력의 관측 값을 보여준다는 것이기에

우리는 첫 경기가 중요하다는 말보다는

첫 경기의 결과가 우리에게 유의미한 값을 주겠군하는 것

수학적이라는 것이다.

미안하다. 그냥 마지막 한 줄 정리하겠다.

첫 경기가 우리 생각보다 더욱더 ㅈ나게 중요했다.

그럼 오늘 수업은 여기까지