등차수열 시험 전에 혼자 몰래 보세요.🤫

 

 

등차수열.pdf

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3, 5, 7, 9, … 다음에 나올 숫자는 무엇일까?

이 숫자의 나열은 차이가 2씩 나므로

다음에 나올 숫자가 11이라고 예상할 수 있다.

이렇게 차이가 일정한 숫자의 나열을 보고 등차수열이라고 부른다.

 

 

등차수열의 일반항?

 

3,5,7,9 이런 등차수열의 일반항은

3이라는 첫째항에 2라는 일정한 차이가 더해지므로

공식을 이용해서 이렇게 구할 수 있다.

a_n=a+(n-1)d=3+(n-1)*2=2n+1

 

공식만 알고 있다면 쉽게 유도해낼 수 있는 식이다.

그런데 교과서에서 배우는 이 공식은

우리가 수열을 수학답게 해석 하는 것을 방해하고 있다.

 

다음 그래프를 보자.

y=2x+1 그래프인데

x에 1을 대입하면 3

2를 대입하면 5

3을 대입하면 7

4를 대입하면 9

이처럼 자연수에서의 함숫값이 등차수열의 각 항들과 정확히 일치한다.

왜 이렇게 될까?

 

 

수열의 정의는 뭘까?

 

수열은 대게 숫자의 나열이라고 생각하지만

수학책에서는 그렇게 가르치지 않는다.

수열이란 정의역이 자연수인 함수이다.

그래서 수열을 받아들일 떄 우리는 함수로 받아들여야한다.

 

정확히 말하면 등차수열은 정의역이 자연수인 일차함수로 받아들여야한다.

일차함수는 기울기가 일정하므로 정의역이 자연수라면

같은 수를 더한 효과를 가진다.

따라서 등차수열의 공차는 기울기가 된다.

 

등차수열을 n에 대한 일차식으로 다시 표시해보면

A_n=dn+(a-d) 이 된다.

식이 더 복잡해보이지만 이 식은 외울 필요가 없다.

공차가 기울기란 성질을 이용해 다음 문제를 보자.

여기 초항이 3이고 공차가 2인 등차수열의 일반항을 찾아보자.

먼저 공차가 2이므로 a_n= 2n+x라고 적는다.

그 다음 초항이 3이므로 n에 1을 넣어서 3이 나오게 만들면 되므로

뒤에 1을 더해서 식을 완성시키면 된다.

A_n=3n+1

이렇게 등차수열을 접근하면 우리가 기존의 알고 있던

일차함수의 성질을 모두 이용할 수 있으면서 손쉽게

등차수열을 풀어낼 수 있다.

 

 

등차수열의 합

 

등차수열의 합도 쉽게 구해낼 수 있을까?

다시 y=2x+1 그래프를 보자.

등차수열은 자연수일 때의 함숫값과 같고

x축 사이의 차이는 1이므로

등차수열의 합은 그래프를 덮게 색칠한 저 부분의 넓이와 같다.

 

자 그러면 넓이를 쉽게 구하는 방법이 없을까?

합 과 넓이 어디서 많이 본 것 같지 않은가?

사실 등차수열의 합은 등차수열을 적분한 것이다.

등차수열은 1차함수이므로 등차수열의 합은

1차함수를 적분한 2차함수로 나오게 된다.

 

갑자기 수열에서 적분이 나와서 당황할 수 있지만

식을 관찰해보자.

우린 등차수열의 합을 가우스의 방법

초항과 말항의 평균을 항의 개수와 곱하는 방법으로 구한다.

S_n = (a+l)n/2 = (2a+(n-1)d)n/2

이 식을 n에 대해 정리하면 다음과 같이 나온다.

S_n = (d/2)n^2+(a-d/2)n으로 나온다.

자세히 관찰해보면 상수항이 없는 n에 관한 2차함수이다.

 

그런데 이식은 정확하진 않지만

등차수열을 적분하면 얼추 비슷하게 식이 나온다.

 

정확히 같지 않은 이유는 등차수열은 이산적이므로 미분이 불가능하고 따라서 역으로 적분하는 과정에서 삼각형의 넓이인 nd/2만큼의 차이가 생기는데 이는 중요하지 않다.

 

중요한건 최고차항의 계수이다.

최고차항은 적분한 것과 정확하게 일치해서 나온다.

이를 응용하면 등차수열의 합의 최고차항의 계수는 등차수열을 적분했으므로 d/2로 나온다는 것을 알 수 있다.

이제 저 수열의 합을 구해보자.

먼저 공차가 2이므로

등차수열의 합인 n^2의 계수는 1이다.

등차수열의 합은 상수항이 없는 2차함수 이므로

S_n=n^2+xn이라두면 a_1=S_1=3 이므로 S_n=n^2+2n이라 둘 수 있다.

이렇게 구하면 기존에 쓰던 공식보다 더욱 빠르게 답을 해결할 수 있다.

 

정리하면 공차d를 이용하여

등차수열은 공차를 기울기라 두고 dn+x a_1을 이용하여 상수항을 구하면 되고

등차수열의 합은 공차를 반으로 나누어 최고차항의 계수인 d/2n^2+xn

 a_1=s_1을 이용하여 일차항의 계수를 구하면 된다.

 

이를 응용하면 등차수열의 합이 있을 때

등차수열의 일반항을 찾는 것도 빠르게 할 수 있다.

보통 a_n=S_n-S_n-1이라 두고 일반항을 찾지만

우리는 등차수열의 합의 최고차항과 일반항의 최고차항의 계수가 2배차이가 나는 것을알고 있기에 눈으로 일반항을 찾을 수 있다.

 

 

문제가 많이 나오는 편은 아니지만

상수항이 있는 2차함수는 등차수열의 합일까?

아까 보았듯이 등차수열의 합은 상수항이 없는 2차함수 꼴이었다.

그렇다면 상수항이 있으면 어떻게 될까

예를들어 S_n=n^2+2n+2를 보자.

S_1=5, S_2=10, S_3=17, S_4=26, S_5=37이므로

a_1=5, a_2=5, a_3=7 a_4=9, a_5=11임을 알 수 있다.

잘 관찰하면 첫째항을 제외하고 a_n=2n+1임을 알 수 있다.

따라서 a_n= 5(n=1), 2n+1)n>1)라고 쓸 수있다.

결국 상수항이 있다면 첫째항을 제외하고는 등차수열을 이룬다 것을 알 수 있다.

이를 빨리 구하기 위해서는 일단 첫째항이 없다고 생각하고 a_n을 구한 후 첫째항만 찾아주면 된다.

 

오늘 수업은 여기까지