빨대는 구멍이 몇개? feat.오일러 지표 v-e+f=2(1-g)

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빨대의 구멍은 몇개일까?

 

우리가 빨대로 음료를 먹을 때 꽂는 쪽 하나

입을 대고 먹는쪽 하나 이렇게 구멍이 두개 일까?

아니면 이 두 구멍은 이어져 있으니까

구멍은 한개라고 할 수 있을까?

 

정확히 구멍이 몇개인지 알기 위해서는 구멍의 정의부터 시작해야한다.

국어사전에서 구멍은 뚫어지거나 파낸 자리라고 정의 되어 있다.

영어로는 hole이라고 부르며

an opening into or through something

암튼 이렇게 되어 있다.

 

언어적으로만 본다면

우리 소화기관도 빨대처럼 하나로 이어져 있는데

들어가는 곳을 입구멍, 나오는 곳을 X구멍이라고 말하니까

구멍이 2개라고 할 수 있다.

 

그런데 an opening into or through something이라는 표현으로 본다면

빨대와 같은 모양인

블랙홀과 화이트홀은 웜홀로 이어져 있기에

hole이 3번 들어가니까 구멍은 3개라고 할 수 있다.

이렇듯 언어로는 같은 것도 다르게 해석할 수 있기에

우리는 수학적으로 구멍이 몇개인지 찾아보도록 하겠다.

 

구멍이 몇개인지 알아보기 전에 먼저 알아봐야할 것이 있다.

여러분들은 중고등학교 시절에 공부를 좀 열심히 했다면

V-E+F=2라는 식을 본 적이 있을 것이다

오일러공식, 오일러 표수라고 부르는 것인데

처음 듣는 것 같지만 어려운 개념은 아니다.

예를들면 정육면체나 사각기둥에서

꼭지점의 개수 V에서

변의 개수 E 를 뺀 후

면의 개수 F를 더하면 2가 나온다는 것이다.

여기서 신기한 것은

정사면체, 정팔면체, 피라미드 심지어 원기둥과 같은 입체도형들은 모두 성립한다.

 

여기서 원기둥을 한번 자세히 관찰해보자.

원기둥은 윗면과 아래면이 있는데 이를 이은 게 면밖에 보이지 않아보인다.

하지만 면은 선과 꼭지점을 가져야하므로 여기에 이렇게 선이 하나 있다고 생각하고

공식을 써보자.

자 공식을 써보면 V=2, E=3, F=3이므로 2-3+3=2 이렇게 나오게 된다.

 

그런데 빨대에 구멍개수 세다가 갑자기 이걸 왜하냐 싶겠지만

사실 위상수학에서는 이공식을 응용하여 구멍의 개수를 세는 방법을 제시한다.

사실 저공식은 오일러 표수라고 부르며 V-E+F=2(1-구멍의개수)라고 되어있다.

지금까지 우리가 본 입체도형들은 구멍이 없는 도형들이었다.

따라서 V-E+F=2(1-0) 즉 V-E+F=2가 된 것이었다.

 

그렇다면 빨대는 어떻게 될까?

빨대라는 것은 아까 원기둥에서 윗면과 아랫면이 없는 것이다.

그렇다면 V=2, E=3, F=3에서 나머진 다 같지만

윗면 아랫면이 없으므로 F=1로 줄어든다.

따라서 V-E+F=0이 된다.

이는 2(1-구멍의개수)=0 이므로

빨대의 구멍의 개수는 1이라는 것 의미한다.

 

이처럼 빨대의 해석과 같이 상징으로서의 언어 기호가 가지고 있는 의미의 불명확성은

우리가 해석함에 따라 재량을 갖게 만드는 요인이 된다.

그래서 우리는 이러한 불명확성을 없애고자

논리적 규칙이 있는 수학이란 언어로 세상을 바라볼 필요가 있다.

왜냐하면 자연이라는 책은 수학이라는 언어로 기록되어 있기 때문이다.

 

오늘 수업은 여기까지