수학으로 알아보는 전염병 확산모형💀 SIR모델

수학이 전염병을 해결할 수 있는가?

 

사회가 발전해나가면서 우리는 우리 주변의 현상을 감성적이 아니라

과학적 그리고 수학적으로 분석해야하는 시대가 되었다.

그리고 기술의 발전함에 따라 이제 컴퓨터 시뮬레이션을 통해

수학적으로만 만들어 두었던 모델을 실제로 구동해보고

현실상황에 맞게 재해석하면서 문제를 해결해가고 있죠.

최근 신종 질병의 전파와 인구의 이동에 대하여

SIR과 SEIR모형은 수학 언어를 사용하여

어느 체계보다 세련되거 정확하게 감염병 확산을 설명하고 있습니다.

전염병에 적용되는 수학 모형은 초기 유행양상에서 부터

장기 유행양상까지 예측하게 할 뿐만 아니라 감염의 전파에 백신이 미치는 영향까지 다방면으로 활용할 수 있습니다.

 

 

전염병의 수학적 모델링

 

전염병을 수학적으로 이해하기 위한 모델링은 18세기로 거슬러 올라갑니다.

스위스의 수학자 다니엘 베르누이는 1766년 천연두를 연구하여 전염병떄문에 사람들이 얼마나 죽었는지 분석한 결과를 발표했으며, 이 연구를 통하여 약한 쳔연두균이 인체의 면역력을 갖게 하므로 천연두를 예방할 수 있다는 주장을 뒷받침하게 됩니다.

20세기에 와서 영국의 수학자 하머는 홍역에 대한 수학적 모델을 제시하고

병리학자 로날드 로스는 말라리아를 옮기는 기생충을 발견하고 그 확산 모델을 정리하려 1902년 노벨 의학상을 수상합니다.

그리고 1972년 드디어 스코틀랜드 수학자 윌리엄 컬맥과 앤더스 맥켄드릭은 전염병이 유행하기 위한 초기 조건과 전염병의 확산 정도를 예측하는 SIR모델을 제시합니다.

 

 

SIR 모델

 

SIR 모델이란

감염 가능성이 있는 사람들의 모임 (suspectible)

감염된 사람들의 모임 (Infectious)

회복된 사람들의 모임 (Removed) 사이에서 전염병이 어떻게 퍼지는지 보여줍니다. 전체 인구수가 변하지 않는다고 고려할 때, 사람들은 S에서 I, R로 그룹을 옮겨간다고 보며 미분과 질량작용법칙에 의해 감염의 속도를 계산해냈습니다.

그리고 이 모델을 이용해 1905년부터 1년 동안 인도 봄베이와 1665년 영국의 한 마음에서 홍역으로 사망한 사람의 수를 정확하게 예측해내며

수학으로 앞으로 다가올 새로운 전염병에 대한 대비를 할 수 있게 되었습니다.

 

 

진화하는 전염병과 SEIR 모델

 

요새 뉴스에 나오는 전염병들을 보면 앞에 신종이 붙습니다.

예전에 있던 질병과는 결이 다르다는 것이죠.

이렇게 예측 불가능한 새로운 바이러스에 대비해

수학자들도 수학적 모델을 강화하여 SEIR모델을 만들어 냅니다.

SIR 모형에 기본적인 확장 접근을 하여 접촉군 (exposed)이라는 단계를 추가한모형이죠.

이러한 모형은 2015년 국내 메르스 바이러스 사태에 적용

질병의 확산 과정이 결정적이 아닌 확률적인 흐름을 따른다고 가정하여

포아송 분포와 확률적 화학 반응 모형을 이용한 환자의 퇴원일 사망일을 파악하는데 이용되었습니다.

이러한 분포를 통해 정책적 개입이 없는 상태에서 얼마나 많은 사망자 수가 예상되는지 그리고 정부의 정책적 개입이 얼마나 전염병을 효과적으로 막을 수 있는지 확인할 수 있습니다.

 

 

SIR모델의 응용

 

SIR모델은 전염병말고 다른데 이용될 수 있을까요?

수정된 SIR 모델로 정보확산 과정을 나타낸 연구

가짜뉴스가 SNS를 통해 전염병과 같은 경로로 퍼진다는 연구

와우의 오염된 피 사건에서 사람들의 행동유형 분석

사회적 유행현상을 SIR모델로 예측한 연구 등

다양한 분야에서 해당 모형을 이용한 사례들이 있습니다.

하지만 가장 중요한건 이 모델의 존재 이유인 전염병 예방이겠죠.

다양한 전염병 확산 모델을 구축하여 정책 의사결정에 기여하는 외국과 같이,

우리나라도 교통의 발달과 밀접된 도시생활에 맞는 SIR모델에 대한 연구가

의학계와 수학계에서 활발하게 진행되고 있습니다.

SIR모델은 천문학적인 의료비용을 감소시키는 효과도 줄 수 있지만

더욱 중요한 것은 환자들이 입게될 아픔을 미리 예방하는데

수학이 도움을 줄 수 있다는데 의미가 있지 않을까 싶습니다.

 

오늘 수업은 여기까지