무리수도 꽤나 규칙적이다

$\sqrt{2}$는 무리수입니다. 무리수는 소수점 아래 자리수가 끝이 없고, 순환하지 않는 무한 소수이므로 불규칙하다고 생각할 수 있습니다.

$$\sqrt2 = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379\cdots$$

그러나 $\sqrt2$는 다음과 같이 유리화를 이용해 분리할 수 있고, $\sqrt{2}$가 양변에 다시 나타나므로 이 과정을 반복한다면

$$
\sqrt{2} = 1 + \left( \sqrt{2} - 1 \right) = 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}}
$$

$\sqrt{2}$를 $2$가 반복되는 무한 연분수(continued fraction)로 나타낼 수 있습니다. 소수에서는 불규칙할지 모르나 연분수로 나타내면 꽤나 간단하면서 $[1; 2, 2, 2, \ldots]$로 상당히 규칙적으로 표현할 수 있죠.

$$
\begin{align*}
\sqrt{2} &= 1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \\\\

&= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ddots}}}
\end{align*}
$$