세상을 바꾼 17가지 방정식 - 1. 피타고라스 정리

 

피타고라스의 역사와 중요성

대부분의 사람들이 대표적인 수학자로 피타고라스를 생각합니다. 개인적으로 수학관련 과제를 학생들에게 숙제로 내면 항상 나오는 주제라서 썩 좋아하지는 않습니다. 하지만 이 정리가 매번 나오는 것은 그만큼 중요하기 때문일 수 있습니다. 피타고라스는 철학자이자 기하학자로 그가 만든 학파에서는 수가 우주의 기반이라고 믿었습니다. 피타고라스가 유명해진 것은 그의 이름을 딴 정리 덕분인데, 이 정리의 출처에 대해 아직도 논란이 있습니다. 바빌로니아의 점토판에서 피타고라스보다 훨씬 이른 시기에 이 정리가 알려졌다는 증거도 있으며, 중국에서는 독자적으로 고구현의 정리라고 정리된 내용도 있죠. 다만 현재에는 피타고라스의 정리라고 통용되며 이 때문에 피타고라스는 중학생 이상이라면 누구나 다 아는 수학자가 되었습니다.

직각삼각형에서의 피타고라스 정리와 응용

피타고라스 정리는 유명한 수학 교과서인 에우클레이데스의 『원론』 1권의 명제47에 등장합니다. 다만 고대 그리스에서 기호나 방정식이 아직 발명되지않아 말과 기하학적 성질을 이용해 정리들을 표현했. 그리스인들은 선과 면으로 수학을 공부했기 때문에, 피타고라스는 정리는 "한 직각삼각형의 가장 긴 변을 이용해 만든 정사각형의 넓이는 다른 두 변으로 만든 정사각형들의 넓이의 합과 같다."라고 표현되어 있습니다.

$$a^2+b^2=c^2$$

그런데 넓이의 관계를 나타낸 이 공식은 직선의 거리를 측정하는 데 효율적인 도구로 사용됩니다. 예를 들어, 두 점 사이의 직선 거리를 알고 싶을 때, 이 두 점을 직각삼각형의 두 꼭짓점으로 생각하고, 두 점 사이의 직선을 빗변으로 생각하면 됩니다. 그런 다음 피타고라스의 정리를 사용하여 빗변의 길이, 즉 두 점 사이의 거리를 계산할 수 있습니다.

삼각법과 코사인 법칙의 확장

그런데 이렇게 간단한 피타고라스 정리는 왜 세상을 바꾼 방정식에 첫번째로 선정된 것일까요? 사실 실생활에서 마주치는 삼각형 대부분은 직각이 아니므로, 피타고라스의 정리는 쓰임새 많아 보이진 않습니다. 그러나 모든 볼록 다각형은 삼각형으로 분할할 수 있고, 모든 삼각형은 빗변과 마주보는 꼭짓점에서 빗변으로 수선의 발을 내리면 2개의 직각삼각형으로 분할할 수 있으므로 직각삼각형의 성질을 아는 것은 매우 중요합니다. 여기서 나오게 된 것이 삼각법(trigonometry)입니다. 직각삼각형이 있다면 각도와 길이사이의 관계를 이용해 기본적인 삼각함수인 사인(sin), 코사인(cos), 탄젠트(tan)를 만들어낼 수 있죠. 이 방법을 이용하면 수를 다루는 직선의 세상에서 면의 세계로 수학을 확장시킬 수 있습니다.

또 삼각함수가 있다면 피타고라스 정리를 조금 수정하여 직각이 없는 삼각형들에 바로 적용할 수 있습니다. 흔히 ‘코사인 법칙’이라 불리는 공식이죠.

우선, 임의의 삼각형 $ABC$를 생각해보겠습니다. 삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 $a$ 즉, 변$\overline{BC}$ 나 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 $H$라 하면

$$a=\overline{BC}=\overline{BH}+\overline{CH}$$

라 할 수 있습니다. 이때 코사인의 정의를 이용하면

$$a=c \cos B+b \cos C \quad (1)$$

라 할 수 있습니다. 그리고 같은 방법으로 $b$, $c$를 나타낼 수 있습니다.

$$a=c \cos B+b \cos C \quad (2)$$
$$a=c \cos B+b \cos C \quad (3)$$

정리하기 위해 첫번째 식에서 두번째, 세번째 식을 뺀 후($(1)-(2)-(3)$) 정리하면

$$a^2-b^2-c^2=-2ab \cdot \cos A$$

삼각형의 세 변의 길이와 각의 크기에 대한 코사인 사이의 관계를 찾을 수 있는데 이를 코사인 법칙이라고 합니다.

$$a^2=b^2+c^2-2ab\cdot\cos A$$

그리고 이 식은 다른 변에도 동일하게 적용할 수 있습니다.

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos B$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos C$$

코사인 법칙은 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각이 주어지면 삼각형의 알려지지 않은 남은 변의 길이를 찾는 데 사용됩니다. 반대로 세 변의 길이를 모두 알고 있을 때 각도를 찾는데도 유용하죠. 그리고 끼인각이 직각이라면 $\cos ({\pi\over2})=0$이므로 자연스럽게 피타고라스 정리가 됩니다. 코사인 법칙은 이처럼 피타고라스의 정리를 모든 유형의 삼각형으로 확장하는 삼각법의 기본 정리입니다.

삼각법은 거리 계산, 물체의 움직임 연구 등 실제 문제를 해결하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어 탈레스는 삼각법을 이용해 기자 피라미드의 높이를 측정했고, 에라토스테네스는 알렉산드리아와 시에네에서 관측한 태양의 각도를 이용해 지구의 크기를 추정했죠. 나아가 오늘날에는 삼각 분할(triangulation)로까지 발전했습니다. 삼각 분할은 한 지역을 많은 작은 삼각형들로 나누고 가장 처음에 삼각형 한 변의 길이를 정확하게 측정한 후, 각도들을 이용하여 거리를 계산하는 방법입니다. 이 개념은 사람들의 사고를 한 삼각형에서 평면으로 확장시켰고 결국 데카르트의 평면 좌표로 응용되었습니다.

3차원에서의 피타고라스 정리

길이를 정확히 측정할 수 있다는 것은 평면에서만 한정된 내용은 아닙니다. 길이는 공간에도 존재하므로 피타고라스 정리를 고차원으로 확장할 필요가 있습니다. 3차원 공간에서 두 점 (P(x_1, y_1, z_1))과 (Q(x_2, y_2, z_2)) 사이의 거리를 계산한다고 해보겠습니다.

2차원 평면에서 두 점 $A(x_1, y_1)$와 $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 피타고라스의 정리를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$
d_{2D} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$

이제, 이 두 점을 연결하는 선 $d_{2D}$와 $z$축에서의 두 점 사이의 거리인 $|z_2 - z_1|$는 서로 수직을 이루므로, 다시 피타고라스의 정리를 사용할 수 있습니다.

$$
d_{3D} = \sqrt{d_{2D}^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$

이때, 2차원의 거리를 풀어서 정리하면 공간에서의 거리는 다음과 같이 계산됩니다:

$$
d_{3D} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$

이는 피타고라스의 정리를 3차원으로 확장한 결과입니다. 3차원 공간에서도 변수를 추가하는 방법으로 확장될 수 있는거죠. 이처럼, 피타고라스의 정리는 직교좌표계를 사용할 수 있는 공간에서 너무나 잘 맞아떨어집니다. 두 점 사이의 거리를 측정하는 데 있어서 핵심적인 원리를 제공하죠. 그리고 길이를 정확히 측정할 수 있다는 강력한 성질은 움직임을 이해하는데도 중요합니다. 바꿔말해 벡터로 확장되어 물체의 운동 상태를 분석하거나 물리량을 분석하는데 응용될 수 있죠.

피타고라스 정리의 확장

피타고라스의 정리는 직교좌표계라는 기하학적 구조에 근거하며, 이 구조는 차원에 상관없이 일정합니다. 즉, 2차원, 3차원, 그리고 더 높은 차원에서도 기본적인 성질을 유지하여 계속 확장해나갈 수 있습니다. 앞서 말했듯 피타고라스 정리는 벡터와 연관이 있습니다. 벡터는 크기와 방향을 가진 수학적 객체로, 공간에서 한 점에서 다른 점으로의 이동을 나타냅니다.

• 점 $A$를 $(a_1, a_2)$라 하고, 점 $B$를 $(b_1, b_2)$라 하면, 벡터 $\vec{AB}$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_1)$$

따라서, 두 점 $A$와 $B$에 대한 벡터는 점 $A$에서 점 $B$로의 이동을 나타내고 점 $B$의 좌표에서 점 $A$의 좌표를 뺀 결과로 표현될 수 있습니다. 이처럼 벡터를 직교 좌표계에서의 순서쌍으로 정의하는 것은 매우 자연스럽습니다.

• $n$차원 공간에서 두 점 $A$와 $B$의 좌표를 각각 $(a_1, a_2, ..., a_n)$과 $(b_1, b_{2}, ..., b_{n})$라고 할 때, 벡터 $\vec{AB}$는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$$\vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, ..., b_n - a_n)$$

왜냐하면 직교 좌표계는 공간을 직각으로 교차하는 축으로 분할하며, 이 축들 사이의 각도는 $90^\circ$입니다. 이러한 성질 때문에, 각 축을 따라 움직이는 벡터의 구성 요소는 서로 독립적입니다. 즉, 한 축을 따라 움직이는 것이 다른 축을 따라 움직이는 것에 영향을 미치지 않는거죠. 따라서, 벡터의 각 구성 요소는 각 축을 따라 이동하는 거리를 나타내며, 따라서 벡터의 크기는 피타고라스 정리를 사용하기 매우 편리합니다.

피타고라스 정리의 응용분야

벡터의 크기는 물리학에서 많은 양을 나타내는 데 사용됩니다. 예를 들어, 속도 벡터의 크기는 속력을 나타내고, 힘 벡터의 크기는 힘의 크기를 나타내죠. 그리고 이러한 벡터의 크기를 계산하는 것은 이러한 물리적 양을 정량화하는 데 필수적입니다. 앞으로 볼 세상을 바꾼 방정식들이 벡터를 사용하여 현실에 있는 물체의 위치, 방향을 어떻게 설명하는지 보게된다면 왜 피타고라스의 방정식이 첫번째로 선정되었는지 이해하실 수 있게 될 것입니다.

피타고라스의 정리를 처음 본다면 단순히 직각삼각형에서의 변의 관계라고 생각할 수 있습니다. 하지만 직각삼각형은 직각이 없는 삼각형으로, 평면은 다차원 공간으로 바뀌게 되었죠. 그렇게 피타고라스 방정식은 세계지도를 만들고, 복잡한 건축물을 설계하며 심지어 위성 궤도도 분석하게 되었습니다. 중학교 때 배우는 간단한 공식이 만들어낸 아이디어 덕분에 우리는 세상을 보는 방식을 바꾸고, 현실적인 문제를 해결하게 된거죠. 오늘 수업은 여기까지.