띠부띠부씰을 다 모으려면 포켓몬 빵을 몇개나 사야할까?

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띠부띠부씰을 아시나요? 예전에 포켓몬 빵을 사면 안에 스티커가 하나씩 들어있었습니다. 스티커가 너무 갖고싶어 맛있는 고오스 빵뿐만 아니라 다른 먹기 싫은 빵도 먹었던 기억이 있습니다. 친구들 모두 1세대 포켓몬 151마리를 다 모아보는게 소원이었는데 실제로 151마리를 다 모으려면 빵을 얼마나 많이 먹어야할까요?

 

처음 빵을 사고 스티커를 얻으면 이는 처음으로 얻는 스티커이므로 중복되지 않습니다. 하지만 두번째 부터는 기존에 있는 스티커랑 같은 스티커일 수 있습니다. 각 스티커가 나올 확률이 동일하다고 하면 두번째 스티커가 첫번째 스티커와 다를 확률은 151개 중 나머지 150개에서 나와야하므로 150/151입니다. 이를 반복하면 마지막 스티커가 기존에 나오는 스티커와 다를 확률은 1/151이죠. 이때 사야할 빵의 개수의 기댓값은 각 확률의 역수의 합과 같으므로 식을 다음과 같이 쓸 수있습니다. 그렇다면 분자는 모두 151이므로 결합법칙으로 묶어줄 수 있고, 묶은 이 부분은 역수가 등차수열이므로 조화급수가 됩니다. 조화급수의 합은 N이 충분히 크다면 오일러-마스케로니 상수를 이용해 사야하는 빵의 개수의 근삿값을찾을 수 있지만 저는 계산기를 이용해 조금 더 정확히 계산하면 평균 846개 이상의 빵을 산다면 스티커를 다 모을 수 있다는 결론이 나옵니다.

 

제가 어렸을 때 포켓몬 빵의 가격은 한개에 500원이었니까 결과적으로 약 42만원이 넘는 돈을 다 빵 사는데 쏟아부었어야했습니다. 지금 생각하니 그 돈 아껴서 다른거 살 걸 그랬습니다. 여러분들은 합리적인 소비를 하시기 바라며

 

조화급수랑 오일러-마스케로니 상수가 통계학에서 이렇게 응용될 수 있구나라고 생각해주시면 좋겠습니다.^^ 어렸을 때 막연하게 모으려고 했는데 이제와 생각해보니 도전조차 하면 안되는 거였네요. 최애 포켓몬은 푸린이랑 토게피 중에 고르기 힘드네요.

 

Coupon collector's problem https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector%27s_problem