증명 개요실수 집합 $\mathbb{R}$을 유리수 체 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터 공간으로 간주할 때, 만약 이 벡터 공간이 유한 차원이라면 모든 실수가 유리수 계수 다항식의 근 즉, algebraic 한 수여야 합니다.그러나 $\mathbb{R}$에는 transcendental 인 수가 존재하므로 모순이 발생하여, $\mathbb{R}$은 무한 차원임을 증명할 수 있습니다.1. 유한 차원 벡터 공간의 가정가정: $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위에서 유한 차원 벡터 공간이라고 가정합니다.그렇다면 유한 개의 기저 ${ v_1, v_2, \dots, v_n }$가 존재하여, 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$는 다음과 같이 표현됩니다:$$\alpha = q_1 v_1 ..

유리수 $\frac{n}{d}$(정수 $n$과 $d$의 비율)은 소수로 변환될 수 있습니다. 만약 분모 $d$의 모든 소인수가 $10$을 나눌 경우, $\frac{n}{d}$는 유한하며, 그 외의 경우 $\frac{n}{d}$는 반복되는 소수를 생성합니다. 이때, 반복되는 숫자를 순환 주기또는 순환 마디라고 하며, 가장 짧은 반복 숫자 수를 주기의 길이라고 합니다. 유리수가 주기적인 무한 소수임을 확인하는 가장 쉬운 방법은 긴 나눗셈 과정을 직접 조사하는 것입니다. $n$을 $d$로 나눌 때 가능한 나머지는 $1, 2, \cdots, d-1$입니다. 따라서 긴 나눗셈에서 최대 $d-1$단계 후에 이러한 나머지 중 하나가 다시 나타나고, 이런 일이 발생하면 긴 나눗셈 과정은 이전 단계를 반복하여 동일한 몫..

- YouTube www.youtube.com 유리수는 두 정수 $a$와 $b$의 비로 표현될 수 있는 수입니다. $$ q = \frac{a}{b} \quad \left(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right) $$ 반면에 무리수는 유리수로 표현할 수 없는 실수를 의미하죠. 그래서 무리수는 정수와 관련이 없다고 생각하기 쉽습니다. 그러나 도형 문제를 풀다보면 피타고라스 정리에 의해 무리수가 빈번하게 나오지만 그 답은 정수비를 이루거나 도형이 어떤 특정한 위치에서 딱 맞아떨어지는 경우를 심심찮게 볼 수 있습니다. 이는 과연 우연일까요? 아니면 필연일까요? 테오도로스의 나선 테오도로스는 기원 전 5세기에 살았던 고대 그리스의 수학자로, 명확한 증거로 뒷받침되지는 않지만 프로타고라스..

youtu.be/FgVY77yIwBc 감마함수에 대해 궁금하시다면 아래영상을 참조해주세요. https://youtu.be/57OuZ2DF6cE