삼차 함수 정리 | 이거 안본 고등학생 없게 해주세요

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삼차 함수 총정리.pdf

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최고차항이 양수인 3차 함수의 개형은

도함수의 근의 개수에 따라 총 3가지로 분류됩니다.

세 그래프 모두 변곡점이라 불리는 가운데 대칭점을 기준으로 점대칭입니다.

그리고 변곡점의 x좌표 x=-b/3a이므로 서로 다른 세 근의 평균과 같습니다.

 

이 중에서 가장 많이 나오는 마지막 모양에 대해 살펴보면

 

3차 함수의 극댓값과 극솟값의 곱을 이용해 근의 개수를 알 수 있습니다.

 

극대 또는 극소에서 졉선을 그었을 때,

만나는 점들과 변곡점을 기준으로 x좌표 사이의 길이는 같습니다.

이는 3차함수의 평행한 임의의 두 접선을 그렸을 때도 성립합니다.

 

삼차함수 위의 임의의 한 점에서 그은 접선이 다른 점에서 삼차함수와 만날 때

두 점의 x좌표를 각각  alpha, beta라 하면 이 사이의 넓이는 |a||beta-alpha|^4/12입니다.