수익률만 가지고 투자 기간을 간단하게 암산으로 구할 수 있다면? | 72의 법칙 증명 | 원리합계

이자율이 4%일 때 내 돈이 2배가 되기 위해서는 몇년이나 투자해야 할까요?

100을 4로 나누면 25니까 25년이 걸릴까요?

 

수학에는 72의 법칙이라는 것이 있습니다. 72의 법칙이란 복리의 원리를 설명하는 개념으로 자산을 두배 늘리는 데 걸리는 시간을 계산하는 방법을 말합니다. 72를 이자율로 나눠 나온 값을 통해 자금규모가 두배가 되기까지의 기간을 알 수 있습니다. 은행의 일반 정기예금 이자율이 연 4%라고 가정할 경우 원금 1억원이 2억원이 될 때까지의 기간은 72 나누기 4 즉, 18년이 걸립니다. 같은 방법으로 10% 이자를 받는 금융상품에 투자를 하고 있다면 원금이2배가 되는 시점은 72를 10으로 나눈 약 7년 정도로 예상할 수 있습니다.

 

원리합계를 이용해 증명해보겠습니다.

r%를 r/100, 시간을 t라 하면 2배가 되기까지 걸리는 시간은

(1+r/100)^t=2라고 식을 세울 수 있습니다.

양변에 ln를 취하면

tln(1+r/100)=ln2 입니다.

양변을 ln(1+r/100)으로 나누면

t= ln2/ln(1+r/100)입니다.

x가 0으로 수렴할때,  ln(1+x)/x=1임을 이용해 ln(1+r/100)이 r/100과 비슷하다고 생각하면

t ~ ln2/(r/100) ~ 69/r 이 됩니다. 

 

분자는 69 이지만 근사할 때 분모가 더 커졌으므로 ln(1+(r/100))<r/100 분자도 조금 커지게 72로 잡게되면 실제 계산값이랑 큰 차이가 없게 됩니다. 근사값이므로 이자율이 매우 작으면 69가 잘 맞고 보통 70, 커질 수록 72에 맞게 되지만 사실 별 차이는 없습니다. 어차피 이 식의 목적은 대략 언제쯤 가치가 2배가 되는지를 어림짐작하는 것이기 때문입니다. 다만 69보다는 72가 약수의 개수가 많으므로 많이 쓰이는 듯 합니다.

 

그런데 지금의 예시는 처음에 돈을 넣어 놓고 그 돈이 불어나는 시간을 보는 것입니다. 그런데 우리는 큰 돈을 한번에 투자할 만큼 돈이 없기에 한달에 조금씩 돈을 모으면서 투자하게됩니다. 이 때도 72의 법칙이 적용될까요? 예를 들어보면 은행에 가서 1년간 매월 100만원씩 연 4%로 적금을 넣으면 원금 1,200만원에 이자는 26만원이 됩니다. 여기서 의문이 듭니다. 이자가 4%인데 왜 1200만원의 4%인 48만원이 아니라 절반 정도인 26만원인지 말입니다. 사실 ‘연 4% 이율’이라는 말에는 함정이 숨어 있습니다. 정확히 말하면 4% 이자는 1년간 넣어 놓은 돈에만 줍니다. 즉 첫 달 저금한 돈에는 4% 이자가 붙지만 마지막 달에 저금한 돈에는 4%의 1/12인 0.3%의 이자만 줍니다. 이를 계산하면 대개 적금 이율은 절반을 해야 예금이율과 같아집니다.(이자소득세 15.4% 까지 넣으면 2배가 꽤 정확히 맞습니다.) 그러므로 적금에는 72의 2배인 144의 법칙이 적용됩니다. 예를 들면 4%적금으로 내가 넣은 돈을 2배로 만들기 위해서는 144를 4로 144/4 =36 즉 36년이 걸립니다. 

 

요새와 같은 저금리시기에는 은행 적금은 많아야 1.5%를 주는데 144를 1.5로 나누면 96이 나오므로 내 돈을 2배롤불리는데는 96년이 걸리게 됩니다. 이래저래 부자되기는 힘든 것 같습니다.