양립방정식과 마이나르디-코다지 방정식

1. 양립방정식의 필요성: 곡면은 아무렇게나 만들어지지 않는다

우리가 임의로 6개의 함수 $E, F, G, e, f, g$를 정한다고 해서, 이들을 각각 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수로 갖는 실제 매끄러운 곡면이 3차원 공간 안에 항상 존재하는 것은 아닙니다. 그 이유는 실제 곡면은 찢어지거나 접히는 부분 없이 매끄러워야 하므로, 좌표 함수 $\mathbf{x}(u,v)$는 미분 순서에 결과가 무관하다는 수학의 기본 원리, 즉 $(\mathbf{x}{uu})_v = (\mathbf{x}{uv})_u$와 같은 조건을 만족해야 하기 때문입니다.
즉, 곡면의 내재적 구조 (제1 기본 형식)와 외재적 구조 (제2 기본 형식)는 서로 모순 없이 양립(compatible) 해야만 실제 곡면을 이룰 수 있습니다.

2. 양립방정식의 유도와 그 결과

이러한 양립 가능성을 수학적 조건으로 표현한 것이 바로 양립방정식(Compatibility Equations) 입니다. 이 방정식들은 $(\mathbf{x}{uu})_v = (\mathbf{x}{uv})_u$와 같은 미분 순서 불변성 조건에 제1, 제2 기본 형식의 계수들을 대입하고 정리하여 유도됩니다.
이 과정에서 두 종류의 중요한 방정식이 나옵니다.

1. 가우스 공식 (Gauss Formula): 가우스 곡률 $K$를 제1 기본 형식의 계수 $E, F, G$와 그 도함수만으로 표현하는 식입니다.
2. 마이나르디-코다치 방정식 (Mainardi-Codazzi Equations): 제1 기본 형식과 제2 기본 형식의 계수들을 서로 연결하는 두 개의 추가적인 편미분방정식입니다.
   이 세 방정식을 통틀어 가우스-코다치 방정식 이라고도 부릅니다.

3. 가우스의 위대한 정리(Theorema Egregium)와 그 의의가우스 공식의 도출은 매우 중요한 의미를 가지며, 이는 가우스의 위대한 정리(Theorema Egregium) 로 알려져 있습니다.

가우스 곡률 $K$는 곡면의 내재적(intrinsic)인 양이다.

 

가우스 곡률 $K$는 그 정의상 곡면이 3차원 공간에서 어떻게 휘어져 있는지를 나타내는 제2 기본 형식에 의존합니다. 하지만 이 정리는 $K$가 오직 곡면 위에서 길이와 각도를 재는 방식(제1 기본 형식)만으로도 결정될 수 있음을 보여줍니다. 이는 곡면의 휘어짐 정도를 그 곡면 위에서만 생활하는 2차원 개미가 주변 공간을 보지 않고도 측정할 수 있다는 놀라운 결과입니다.

4. 보네의 정리(Bonnet's Theorem): 양립의 충분조건

그렇다면, 반대로 양립방정식을 만족하면 곡면이 반드시 만들어지는가에 대한 답이 바로 보네의 정리(Bonnet's Theorem) 입니다.

보네의 정리: 제1 기본 형식의 조건($E>0, G>0, EG-F^2>0$)을 만족하고, 가우스-코다치 양립방정식을 만족하는 6개의 미분가능한 함수 $E, F, G, e, f, g$가 주어지면, 그 함수들을 기본 형식의 계수로 갖는 곡면이 국소적으로 반드시 존재하며(locally exists), 3차원 공간에서의 강체운동(rigid motion; 평행이동과 회전)을 제외하고 유일하게 결정된다.

결론적으로, 가우스-코다치 양립방정식은 어떤 곡면이 존재하기 위한 필요조건 일 뿐만 아니라, 그 곡면의 존재를 보장하는 충분조건 이기도 합니다.