크리스토펠 기호

1. 우리가 분석하고 싶은 벡터: 가속도 벡터 $\mathbf{x}_{ij}$

먼저 $\mathbf{x}_{ij}$가 무엇인지 다시 생각해보자.

• $\mathbf{x}(u^1, u^2)$: 곡면 위의 위치 벡터
• $\mathbf{x}_i = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^i}$: 곡면 위를 달리는 자동차의 속도 벡터 (이자 접평면의 기저벡터)
• $\mathbf{x}_{ij} = \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial u^j}$: 그 자동차의 가속도 벡터

자동차 운전을 생각해보자. 평평한 길 위에서는 가속페달을 밟으면 가속도 벡터가 도로면에 평행하다. 하지만 언덕 꼭대기를 넘는 순간을 생각해보자. 몸이 위로 살짝 뜨는 느낌이 든다. 이 순간의 가속도 벡터는 도로면에 평행한 성분뿐만 아니라, 도로면에서 위로 솟아오르는 성분도 가지고 있다.
$\mathbf{x}_{ij}$는 바로 이 "곡면 위에서의 가속도 벡터" 다. 이 벡터는 일반적으로 곡면에 완전히 붙어있지 않고, 살짝 삐져나온 방향을 가리킨다.

2. 가장 자연스러운 분해 방법: 접성분과 법성분

이제 이 삐져나온 가속도 벡터 $\mathbf{x}_{ij}$를 분석하고 싶다. 3차원 공간에 있는 어떤 벡터를 분해하는 가장 자연스러운 방법은 무엇일까?
바로 그 지점의 곡면을 기준으로, "곡면에 접하는 성분" 과 "곡면에 수직인 성분" 으로 나누는 것이다.

• 접선 성분 (Tangential Component): 곡면의 접평면 위에 놓인 성분. 이 접평면은 기저벡터 $\mathbf{x}_1$과 $\mathbf{x}_2$로 이루어져 있다.
• 법선 성분 (Normal Component): 곡면에 수직으로 뚫고 나가는 성분. 이 방향은 단위 법선벡터 $\mathbf{n}$이 알려준다.

3. 분해 결과 = 가우스 공식

모든 벡터는 기저벡터들의 합으로 표현할 수 있다. 가속도 벡터 $\mathbf{x}_{ij}$를 위에서 말한 두 성분으로 쪼개보자.

 

$$
\mathbf{x}{ij} = (\mathbf{x}{ij}\text{의 접선 성분}) + (\mathbf{x}_{ij}\text{의 법선 성분})
$$

 

• 접선 성분: 이 성분은 접평면 위에 있으므로, 기저벡터 $\mathbf{x}1$과 $\mathbf{x}_2$의 조합으로 표현할 수 있다. 그 조합의 계수를, 우리가 이미 배운 **크리스토펠 기호 $\Gamma{ij}^k$** 라고 부르기로 정의 한 것이다.

$$
(\mathbf{x}{ij}\text{의 접선 성분}) = \Gamma{ij}^1 \mathbf{x}1 + \Gamma{ij}^2 \mathbf{x}2 = \Gamma{ij}^k \mathbf{x}_k
$$

 

• 법선 성분: 이 성분은 법선벡터 $\mathbf{n}$ 방향이므로, $\mathbf{n}$의 스칼라배로 표현할 수 있다. 그 스칼라 값을 제2 기본 형식의 계수 $L_{ij}$ 라고 부르기로 정의 한 것이다.

$$
(\mathbf{x}{ij}\text{의 법선 성분}) = L{ij} \mathbf{n}
$$

 

이제 이 두 조각을 합치면, 바로 가우스 공식 이 된다.

 

$$
\mathbf{x}{ij} = \Gamma{ij}^k \mathbf{x}k + L{ij} \mathbf{n}
$$

1단계: 기하학적 정의에서 출발하기

$$
\mathbf{x}{ij} = \Gamma{ij}^m \mathbf{x}m + L{ij} \mathbf{n}
$$

 

우리의 목표는 좌변의 접선 성분인 $\Gamma_{ij}^m \mathbf{x}m$을 어떻게든 $g{ij}$와 엮는 것이다.
먼저, 계수 $\Gamma_{ij}^m$를 분리해내기 위해 양변에 기저벡터 $\mathbf{x}_k$를 내적(dot product)하자.

 

$$
\mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k = (\Gamma{ij}^m \mathbf{x}m) \cdot \mathbf{x}_k + (L{ij} \mathbf{n}) \cdot \mathbf{x}_k
$$

 

• 법선벡터 $\mathbf{n}$과 접선벡터 $\mathbf{x}k$는 수직이므로, $(L{ij} \mathbf{n}) \cdot \mathbf{x}_k = 0$ 이다.
• $(\Gamma_{ij}^m \mathbf{x}m) \cdot \mathbf{x}_k = \Gamma{ij}^m (\mathbf{x}m \cdot \mathbf{x}_k) = \Gamma{ij}^m g_{mk}$ 이다. (정의에 의해)
  따라서 다음 관계식을 얻는다.

$$
\mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k = \Gamma{ij}^m g_{mk}
$$

 

여기서 좌변, $\mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k$를 제1종 크리스토펠 기호 라 부르고, $\Gamma{ijk}$로 표기한다.
즉, $\Gamma_{ijk} = \Gamma_{ij}^m g_{mk}$ 이다.

2단계: $g_{ij}$의 미분을 이용한 교묘한 트릭

이제 우리의 문제는 $\Gamma_{ijk} = \mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k$를 어떻게든 $g{ij}$의 미분으로 표현하는 것 으로 바뀌었다. 여기서 수학자들의 기발한 트릭이 등장한다.
먼저, $g_{ij}$를 미분하면 어떤 항이 나오는지 살펴보자.

 

$$
\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} = \frac{\partial (\mathbf{x}i \cdot \mathbf{x}_j)}{\partial u^k} = \mathbf{x}{ik} \cdot \mathbf{x}j + \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}{jk}
$$

 

우리가 원하는 $\mathbf{x}_{ab} \cdot \mathbf{x}_c$ 형태의 항들이 보인다. 이제 이 식의 첨자 i,j,k를 순환시켜 3개의 식을 만든다.

1. $\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} = \mathbf{x}{ik} \cdot \mathbf{x}_j + \mathbf{x}{jk} \cdot \mathbf{x}_i$
2. $\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} = \mathbf{x}{ji} \cdot \mathbf{x}_k + \mathbf{x}{ki} \cdot \mathbf{x}_j$
3. $\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} = \mathbf{x}{kj} \cdot \mathbf{x}_i + \mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k$
   이제 (식 2) + (식 3) - (식 1) 을 계산하자.

$$
(\text{좌변}) = \frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}
$$

 

$$
(\text{우변}) = (\mathbf{x}{ji} \cdot \mathbf{x}_k + \mathbf{x}{ki} \cdot \mathbf{x}j) + (\mathbf{x}{kj} \cdot \mathbf{x}i + \mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}k) - (\mathbf{x}{ik} \cdot \mathbf{x}j + \mathbf{x}{jk} \cdot \mathbf{x}_i)
$$

 

우변을 잘 보면, $\mathbf{x}{ij} = \mathbf{x}{ji}$ (미분 순서는 무관)이고 내적은 교환법칙이 성립하므로, 많은 항들이 소거되고 정확히 $2(\mathbf{x}_{ij} \cdot \mathbf{x}_k)$만 남는다.
따라서 우리는 마침내 제1종 크리스토펠 기호에 대한 공식을 얻었다.

 

$$
\Gamma_{ijk} = \mathbf{x}{ij} \cdot \mathbf{x}_k = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial g{jk}}{\partial u^i} + \frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} \right)
$$

3단계: 최종 공식 완성 (첨자 올리기)

우리가 정말 원했던 것은 제2종 크리스토펠 기호 $\Gamma_{ij}^k$이다. 1단계에서 얻은 관계식 $\Gamma_{ijk} = \Gamma_{ij}^m g_{mk}$ 을 이용하자.
이 식의 양변에 역행렬 $g^{kl}$를 곱해서 $\Gamma_{ij}^l$ 에 대해 풀 수 있다.

 

$$
\Gamma_{ijk} g^{kl} = \Gamma_{ij}^m g_{mk} g^{kl} = \Gamma_{ij}^m \delta_m^l = \Gamma_{ij}^l
$$

 

(여기서 $\delta_m^l$는 크로네커 델타로, $m=l$일 때만 1이고 나머지는 0이다.)
즉, $\Gamma_{ij}^l = \Gamma_{ijk} g^{kl}$ 이다. (첨자 $l$을 $k$로 바꿔 써도 무방하다.)
이제 2단계에서 구한 $\Gamma_{ijk}$ 공식을 이 식에 대입하면, 우리가 처음 봤던 바로 그 공식이 완성된다.

 

$$
\Gamma_{ij}^k = g^{kl} \Gamma_{ijl} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i} + \frac{\partial g_{il}}{\partial u^j} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l} \right)
$$