최소비가산 정렬집합(minimally uncountable well-ordered set)의 컴팩트성

최소비가산 정렬집합(minimally uncountable well-ordered set)의 컴팩트성Math/Reference2025. 5. 21. 20:54@Ray 수학

Table of Contents

알겠습니다. 최소비가산 정렬집합(minimally uncountable well-ordered set), 종종 첫 번째 비가산 순서수 $\omega_1$ 또는 $\Omega$로 표시되는 집합에 대해 컴팩트성, 극한점 컴팩트성, 수열 컴팩트성을 판단해 보겠습니다.

이 집합은 순서 위상(order topology)을 갖는다고 가정합니다.

핵심 결론:

컴팩트하지 않습니다.
극한점 컴팩트합니다.
수열 컴팩트합니다.

상세 설명

1. 컴팩트성 (Compactness)

판단: 컴팩트하지 않다. ❌

최소비가산 정렬집합은 컴팩트하지 않습니다. 이를 보이는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.

집합 $X = [0, \omega_1)$ (0을 포함하고 $\omega_1$ 이전의 모든 가산 순서수들의 집합)을 생각해보겠습니다.
각 $\alpha < \omega_1$에 대해 열린집합 $U_\alpha = [0, \alpha)$를 정의합니다.
이 열린집합들의 모임 ${U_\alpha}_{\alpha < \omega_1}$은 $X$의 열린 덮개(open cover)를 형성합니다. 왜냐하면 $X$의 모든 원소 $\beta$는 어떤 $\alpha > \beta$에 대해 $U_\alpha$에 속하기 때문입니다.
하지만, 이 열린 덮개는 유한 부분덮개(finite subcover)를 갖지 않습니다. 만약 유한 부분덮개 ${U_{\alpha_1}, U_{\alpha_2}, \dots, U_{\alpha_n}}$가 존재한다면, $\alpha_{max} = \max{\alpha_1, \dots, \alpha_n}$라고 할 때, 이 유한 합집합은 $[0, \alpha_{max})$가 됩니다. $\omega_1$은 비가산이므로 $\alpha_{max} + 1 < \omega_1$인 원소가 존재하며, 이 원소는 유한 부분덮개에 포함되지 않습니다.

따라서 최소비가산 정렬집합은 하이네-보렐 정리가 성립하는 공간이 아니므로, 닫혀있고 유계인 것만으로는 컴팩트성을 보장할 수 없습니다. (여기서 '유계'의 개념은 순서 위상에서 다르게 해석될 수 있습니다.)

참고: 만약 집합이 $\Omega = [0, \omega_1]$ (즉, $\omega_1$ 자신을 포함하는 경우)라면, 이 집합은 컴팩트합니다. 하지만 질문에서 "최소비가산 정렬집합"은 보통 $[0, \omega_1)$을 의미합니다.

2. 극한점 컴팩트성 (Limit Point Compactness)

판단: 극한점 컴팩트하다. ✅

최소비가산 정렬집합 $X = [0, \omega_1)$은 극한점 컴팩트합니다.

정의: 위상 공간 $X$가 극한점 컴팩트하다는 것은 $X$의 모든 무한 부분집합이 $X$ 내에 극한점(limit point)을 갖는다는 의미입니다.
$A$를 $X = [0, \omega_1)$의 임의의 무한 부분집합이라고 합시다.
만약 $A$가 상계(upper bound)를 갖지 않는다면, $A$는 비가산(uncountable)일 수 없습니다. 왜냐하면 $X$의 모든 원소는 가산 순서수이기 때문입니다. 따라서 $A$의 원소들은 $\omega_1$으로 수렴하는 증가하는 수열을 형성할 수 없지만, $A$의 원소들의 상한(supremum)은 $\omega_1$에 "접근"할 수 있습니다.
만약 $A$가 가산 무한집합이라면, $A$의 원소들의 상한 $\sup(A)$를 생각해 볼 수 있습니다.
- 만약 $\sup(A) < \omega_1$이라면, 이 상한은 $X$ 내에 존재하며 $A$의 극한점이 됩니다.
- 만약 $\sup(A) = \omega_1$ (이 경우는 $A$가 $X$ 내에 상계를 갖지 않음을 의미), 이 경우 $A$의 원소들은 $\omega_1$을 향해 "쌓여 올라갑니다". $X$의 모든 원소 $\alpha < \omega_1$에 대해, $\alpha$보다 큰 $A$의 원소가 존재해야 합니다. 이 경우 $A$의 원소들로 이루어진 증가하는 열의 극한이 $\omega_1$이 될 것이고, 이는 $X$에 속하지 않습니다.
좀 더 정확한 논증은 다음과 같습니다: $A \subseteq [0, \omega_1)$가 무한집합이라고 가정합시다.
- $A$의 원소들로 이루어진 증가하는 열 ${\alpha_n}_{n \in \mathbb{N}}$을 구성할 수 있습니다. 이 열의 상한 $\alpha = \sup{\alpha_n}$은 가산 순서수들의 가산 합집합의 상한이므로 가산 순서수입니다. 따라서 $\alpha < \omega_1$이고, $\alpha \in [0, \omega_1)$입니다. 이 $\alpha$는 $A$의 극한점이 됩니다. (만약 $\alpha$가 $A$의 원소가 아니라면, $\alpha$의 모든 근방은 $A$의 무한히 많은 점을 포함합니다. 만약 $\alpha$가 $A$의 원소이고 고립점이 아니라면, 역시 극한점입니다. $A$가 무한집합이므로 항상 극한점을 찾을 수 있습니다.)

따라서 $[0, \omega_1)$의 모든 무한 부분집합은 그 안에 극한점을 가집니다.

3. 수열 컴팩트성 (Sequential Compactness)

판단: 수열 컴팩트하다. ✅

최소비가산 정렬집합 $X = [0, \omega_1)$은 수열 컴팩트합니다.

정의: 위상 공간 $X$가 수열 컴팩트하다는 것은 $X$ 안의 모든 수열(sequence)이 $X$ 안의 점으로 수렴하는 부분수열(subsequence)을 갖는다는 의미입니다.
${\alpha_n}_{n \in \mathbb{N}}$을 $X = [0, \omega_1)$ 안의 임의의 수열이라고 합시다.
경우 1: 수열이 유한한 값들로 이루어진 경우
이 경우, 적어도 하나의 값이 무한히 반복되며, 이 값으로 수렴하는 상수 부분수열을 찾을 수 있습니다.
경우 2: 수열이 무한히 많은 서로 다른 값들로 이루어진 경우
이 부분집합 $A = {\alpha_n : n \in \mathbb{N}}$은 무한집합입니다. 위에서 보았듯이, 무한 부분집합은 $X$ 내에 극한점을 가집니다. 이 극한점으로 수렴하는 부분수열을 구성할 수 있습니다.
또는, ${\alpha_n}$의 상한(supremum) $\alpha = \sup {\alpha_n}$을 생각할 수 있습니다.
- ${\alpha_n}$의 모든 항들은 가산 순서수입니다.
- 가산 개의 가산 순서수들의 집합의 상한은 여전히 가산 순서수입니다. 따라서 $\alpha < \omega_1$이고 $\alpha \in X$ 입니다.
- 만약 $\alpha$가 수열의 항들 중에 나타난다면, 그 항으로 수렴하는 부분수열을 고려할 수 있습니다 (예: $\alpha$가 최대값이거나, $\alpha$에 도달하는 항이 있는 경우).
- 만약 $\alpha$가 수열의 항들 중에 나타나지 않거나, 나타나더라도 수열의 다른 항들이 $\alpha$로 "접근"한다면, $\alpha$로 수렴하는 부분수열을 구성할 수 있습니다. 예를 들어, $\alpha_1' \le \alpha_2' \le \dots$ 이고 $\sup{\alpha_n'} = \alpha$ 인 부분수열을 찾을 수 있습니다. 이 부분수열은 $\alpha$로 수렴합니다.