'놀라운' 증명은 소수에 대한 새로운 통찰력을 제공합니다

소개

때때로 수학자들은 문제를 정면으로 다루려고 노력하기도 하고, 때로는 옆으로 접근하기도 합니다. 이는 Clay Mathematics Institute에서 100만 달러의 보상을 제공하는 Riemann 가설과 같이 수학적 위험이 높을 때 특히 그렇습니다. 그 증명은 수학자에게 소수가 어떻게 분포되는지에 대해 훨씬 더 깊은 확신을 주는 동시에 수많은 다른 결과를 암시하므로 수학에서 가장 중요한 공개 질문이 될 것입니다.

수학자들은 리만 가설을 증명하는 방법을 모릅니다. 그러나 가능한 예외의 수가 제한되어 있음을 보여주는 것만으로도 여전히 유용한 결과를 얻을 수 있습니다. “많은 경우에 그것은 리만 가설만큼 좋을 수 있습니다.” 옥스포드 대학교. "우리는 이것으로부터 소수에 대해 비슷한 결과를 얻을 수 있습니다."

지난 5월 온라인에 게재된 획기적인 결과에서 매사추세츠 연구소의 메이너드와 래리 구스는 기술은 특정 유형의 예외 수에 대한 새로운 상한선을 설정하여 마침내 80여년 전에 수립된 기록을 넘어섰습니다. Rutgers University의 Henryk Iwaniec은 "놀라운 결과입니다."라고 말했습니다. “매우, 매우, 매우 어렵습니다. 하지만 보석이에요.”

새로운 증명은 수직선에서 짧은 간격으로 얼마나 많은 소수가 존재하는지에 대한 더 나은 근사치를 자동으로 제공하며 소수가 어떻게 동작하는지에 대한 많은 다른 통찰력을 제공합니다.

조심스러운 회피

리만 가설은 리만 제타 함수라고 불리는 정수론의 중심 공식에 대한 진술입니다. zeta ($ \zeta$) 함수는 간단한 합계를 일반화한 것입니다.

$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots $$

이 계열은 점점 더 많은 항이 추가됨에 따라 임의로 커질 것입니다. 수학자들은 이것이 발산한다고 말합니다. 하지만 대신 요약하자면

$$ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{\pi^2}{6}$$ 또는 약 1.64를 얻게 됩니다. Riemann의 놀랍도록 강력한 아이디어는 이와 같은 계열을 다음과 같은 함수로 바꾸는 것이었습니다.

$$ \zeta (s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots$$

따라서 $ \zeta (1)$은 무한하지만

$$\zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}$$

s를 두 부분으로 구성된 복소수로 설정하면 상황이 정말 흥미로워집니다. 즉, 일상적인 숫자인 "실수" 부분과 일상적인 숫자에 다음의 제곱근을 곱한 "허수" 부분입니다. −1(또는 수학자들이 쓰는 i). 복소수는 실수 부분이 x축에, 허수 부분이 y축에 있는 평면에 그려질 수 있습니다. 예를 들어 여기는 3 + 4i입니다.

제타 함수는 복소 평면의 점을 입력으로 사용하고 다른 복소수를 출력으로 생성합니다. 일부 복소수의 경우 제타 함수는 0과 같습니다. 복소 평면에서 0이 어디에 위치하는지 알아내는 것은 수학에서 가장 흥미로운 질문 중 하나입니다.

1859년에 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 모든 0이 두 선에 집중되어 있다고 추측했습니다. 음수 입력에 대해 계산할 수 있도록 zeta 함수를 확장하면 −2, −4, −6 등 모든 음수 짝수에 대해 0과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이는 상대적으로 표시하기 쉽기 때문에 이를 사소한 0이라고 합니다. 리만은 중요 영(nontrivial zero)이라고 불리는 함수의 다른 모든 영은 1/2의 실수 부분을 가지며 따라서 이 수직선에 위치한다고 추측했습니다.

이것이 리만 가설인데, 이를 증명하는 것은 엄청나게 어려웠습니다. 수학자들은 모든 중요한 0이 0과 1 사이의 실수 부분을 가져야 한다는 것을 알고 있지만 일부 0이 예를 들어 0.499의 실수 부분을 가질 수도 있다는 점을 배제할 수는 없습니다.

그들이 할 수 있는 것은 그러한 0이 엄청나게 드물다는 것을 보여주는 것입니다. 1940년 영국의 수학자 Albert Ingham은 실수 부분이 1/2이 아닌 0의 개수에 대한 상한선을 설정했으며, 이는 오늘날에도 수학자들이 계속 참고 기준으로 사용하고 있습니다.

수십 년 후인 1960년대와 70년대에 다른 수학자들은 Ingham의 결과를 수직선을 따라 더 멀리 이동할 때 소수가 얼마나 뭉치거나 퍼져 있는지에 대한 설명과 소수가 형성할 수 있는 다른 패턴에 대한 설명으로 변환하는 방법을 알아냈습니다. 같은 시기에 수학자들은 실수 부분이 3/4보다 큰 0에 대한 Ingham의 경계를 개선하는 새로운 기술도 도입했습니다.

그러나 가장 중요한 0은 실수 부분이 정확히 3/4인 것으로 밝혀졌습니다. Maynard는 “소수에 관한 많은 헤드라인 결과는 3/4 실수 부분이 있는 0에 대한 우리의 이해로 인해 제한되었습니다.”라고 말했습니다.

약 10년 전, Maynard는 특정 0에 대한 Ingham의 추정치를 개선하는 방법에 대해 생각하기 시작했습니다. “이것은 분석수론에서 내가 가장 좋아하는 문제 중 하나였습니다.”라고 그는 말했습니다. “조금만 더 열심히 노력하면 발전할 수 있다는 유혹을 항상 느꼈습니다.” 그러나 해마다 몇 번이나 다시 돌아와도 그는 계속 막혔습니다. "그것은 당신을 거의 빨아들일 뻔했고, 제가 생각했던 것보다 훨씬 더 순진해 보였습니다."

그러다가 2020년 초, 콜로라도에서 열리는 컨퍼런스에 참석하기 위해 비행기로 여행하던 중 그에게 한 가지 아이디어가 떠올랐습니다. 아마도 Maynard는 조화 분석이라는 다른 수학 영역의 도구가 유용할 수 있다고 생각했습니다.

제임스 메이너드(James Maynard)는 자신과 공동 저자가 오랜 기록을 깨기 위해 사용한 수학적 계략에 대해 “우리는 첫눈에 완전히 어리석어 보이는 일을 하고 있습니다.”라고 말했습니다.

톰 메드웰 같은 컨퍼런스에 참석한 조화 분석 전문가 Larry Guth도 이미 비슷한 맥락에서 생각하고 있었습니다. 하지만 나는 해석수론을 전혀 몰랐다”고 말했다. Maynard는 점심 시간에 그에게 이야기의 정수론 측면을 설명하고 그에게 작업할 테스트 케이스를 제공했습니다. Guth는 몇 년 동안 계속해서 연구했지만 조화 분석에서 얻은 그의 기술이 효과가 없다는 것을 깨달았습니다.

하지만 그는 문제에 대한 생각을 멈추지 않았고, 새로운 접근 방식을 실험했습니다. 그는 2월에 Maynard와 다시 연락했습니다. 두 사람은 서로 다른 관점을 결합하며 본격적으로 협업을 시작했다. 몇 달 후 결과가 나왔습니다.

수학적 도박

Guth와 Maynard는 그들이 해결하고 싶은 문제를 다른 문제로 전환하는 것부터 시작했습니다. 1/2의 실수 부분이 없는 0이 있는 경우 Dirichlet 다항식이라는 관련 함수는 매우 큰 출력을 생성해야 합니다. 결과적으로 리만 가설에 예외가 거의 없다는 것을 증명하는 것은 디리클레 다항식이 너무 자주 커질 수 없다는 것을 보여주는 것과 동일합니다.

그런 다음 수학자들은 또 다른 번역 작업을 수행했습니다. 먼저, 그들은 Dirichlet 다항식을 사용하여 행렬, 즉 숫자 표를 만들었습니다. "수학자들은 행렬을 보는 것을 좋아합니다. 행렬은 우리가 정말 잘 이해하는 것 중 하나이기 때문입니다."라고 Guth는 말했습니다. "귀를 열어두고 모든 곳에 행렬이 있다는 것을 볼 준비를 하는 법을 배웁니다."

행렬은 길이와 방향으로 정의되는 벡터라는 수학적 화살표에 "작용"하여 다른 벡터를 생성할 수 있습니다. 일반적으로 그렇게 하면 벡터의 길이와 방향이 모두 변경됩니다. 때로는 행렬을 통과할 때 길이만 변경되고 방향은 변경되지 않는 특수 벡터가 있습니다. 이를 고유벡터라고 합니다. 수학자들은 고유값이라는 숫자를 사용하여 이러한 변화의 크기를 측정합니다.

Guth와 Maynard는 이제 행렬의 최대 고유값에 관한 문제를 다시 작성했습니다. 가장 큰 고유값이 너무 커질 수 없다는 것을 보여줄 수 있다면, 그들은 끝났을 것입니다. 그러기 위해 복잡한 합을 구하는 공식을 사용했고, 그 합에 포함된 양수 값과 음수 값이 최대한 서로 상쇄되도록 하는 방법을 모색했습니다. Guth는 "일부 상쇄가 가능한 대칭성을 확인하려면 순서를 다시 배열하거나 올바른 각도에서 살펴봐야 합니다"라고 말했습니다.

그 과정에는 몇 가지 놀라운 단계가 포함되었습니다. Maynard는 "내 마음 속에 있는 가장 중요한 아이디어는 여전히 나에게 약간 마술처럼 보입니다."라고 말했습니다. 어느 순간, 합계를 단순화하기 위해 취해야 할 명백해 보이는 조치가 있었습니다. 대신에 그들은 그것을 더 길고 더 복잡한 형태로 남겨두었습니다. “우리는 언뜻 보면 완전히 어리석어 보이는 일을 합니다. 우리는 표준 단순화를 거부할 뿐입니다”라고 Maynard는 말했습니다. “그리고 이것은 많은 것을 포기합니다. 이는 이제 우리가 이 금액에 대한 어떤 쉬운 경계도 얻을 수 없다는 것을 의미합니다.”

그러나 장기적으로 보면 이는 유리한 조치로 드러났다. Maynard는 "체스에서는 보드에서 더 나은 위치를 차지하기 위해 기물을 희생하는 것을 도박이라고 부릅니다."라고 말했습니다. Guth는 이를 루빅스 큐브를 가지고 노는 것에 비유했습니다. 때로는 이전 동작을 취소하고 올바른 위치에 더 많은 색상을 얻을 수 있는 방법을 찾기 전에 모든 것을 더 나쁘게 만들어야 합니다.

조화 분석에 대한 Larry Guth의 전문 지식은 그에게 수십 년 동안 증명이 거부되었던 정수론 문제에 대한 새로운 관점을 제공했습니다.

브라이스 빅마크Roger Heath-Brown은 “명백한 개선 사항을 버리려면 정말 용감해야 하며 나중에 다시 복구할 수 있기를 바라야 합니다.”라고 말했습니다. -brown), 옥스포드의 수학자이자 Maynard의 전 고문. “그건 내가 당신이 해야 한다고 생각했던 모든 것에 어긋나는 일이에요.”

사실, 그는 이 문제를 해결하기 위해 노력한 자신의 경험을 덧붙였습니다. "지금 생각해 보면 바로 그 부분에서 막혔습니다."

Maynard는 정수론자가 아닌 조화 분석가로서의 Guth의 전문성이 이러한 책략을 가능하게 했다고 말했습니다. "그는 본질적으로 이러한 규칙을 자신에게 심어주지 않았기 때문에 성격에 어긋나는 것들을 고려하는 것을 더 좋아했습니다."

궁극적으로 그들은 가장 큰 고유값에 대해 충분히 좋은 경계를 얻을 수 있었고, 이는 다시 리만 가설에 대한 잠재적 반례의 수에 대한 더 나은 경계로 해석되었습니다. 그들의 작업은 Guth에게 영감을 준 조화 분석의 아이디어로 시작되었지만 궁극적으로 수학자들은 더 복잡한 기술을 그림에서 제거할 수 있었습니다. Heath-Brown은 “이제 그것은 내가 40년 전에 시도했던 일과 정확히 똑같아 보입니다.”라고 말했습니다.

3/4의 실수 부분을 사용하여 0의 수에 대해 더 나은 경계를 제공함으로써 Guth와 Maynard는 소수가 어떻게 분포되는지에 대한 결과를 자동으로 증명했습니다. 예를 들어, 주어진 구간에서 얼마나 많은 소수가 발견되는지에 대한 추정은 구간이 짧을수록 정확도가 떨어집니다. 새로운 연구를 통해 수학자들은 좋은 추정치를 얻을 수 있는 간격을 단축할 수 있었습니다.

수학자들은 이 증명이 소수에 관한 다른 진술도 개선할 것이라고 의심합니다. Guth와 Maynard의 기술을 더욱 발전시킬 여지가 있는 것 같습니다. 그러나 “나는 이것이 리만 가설 자체를 해결하는 데 적합한 기술이 아니라고 생각합니다”라고 Maynard는 말했습니다. "다른 곳에서 큰 아이디어가 필요할 것입니다."