한 번만 더 역설

The "Just One More" Paradox - YouTube

오늘 우리는 간단해 보이지만, 놀라운 수학적 원리를 드러내는 게임을 해볼 거예요. 시작 금액은 $100이고, 동전을 던져서 게임을 진행합니다. 앞면이 나오면 현재 금액의 80%가 증가하고, 뒷면이 나오면 50% 감소합니다. 예를 들어, 앞면이 나와 $100이 1.8배가 되고, 다시 앞면이 나와 $180이 1.8배가 되며, 그 다음 뒷면이 나와 $324가 0.5배가 됩니다. 이런 식으로 계속됩니다. 동전을 던질 때마다 앞면일 확률은 0.8 증가, 뒷면일 확률은 0.5 감소로, 산술 평균은 0.15, 즉 평균적으로 동전 던지기당 15%의 이득이 발생합니다.

처음에는 멋져 보이죠! 그럼 이 게임을 해볼까요? 백만 명이 각각 $100으로 시작하여 50 라운드를 진행하는 시뮬레이션을 해봅시다. 여기 그들의 평균 재산에 대한 그래프가 있습니다. 예상대로 평균은 기하급수적으로 증가합니다. 그러나 그들의 중앙값과 최빈값은 불과 $7.2로 급감합니다.

이는 '비에르고딕 시스템(non-ergodic system)'이라고 불리는데, 이는 개별 개체의 중앙 결과와 인구 평균이 다르기 때문입니다. 그렇다면 중앙값이 왜 이렇게 낮을까요?

문제를 시각화해보겠습니다. $100에서 시작합니다. 앞면이 나와 1.8배를 하거나, 뒷면이 나와 0.5배를 합니다. 이 두 지점에서 각각 다시 앞면이나 뒷면을 던질 수 있습니다. 주목할 점은 1번의 앞면과 1번의 뒷면을 던졌을 때, 벌써 $90으로 떨어진다는 것입니다. ... 평균은 증가하지만, 가장 운 좋은 이들에 의해 끌어올려집니다.

로그 시각으로 변경해봅시다. 이 지점을 보세요. 3번의 앞면, 3번의 뒷면을 던진 모든 경우에 도달할 수 있습니다. 총 20가지 시퀀스가 있죠. 그렇다면 4번의 앞면과 2번의 뒷면으로 이어지는 시퀀스는 몇 개나 될까요? 이런 식으로 다른 절반에도 적용됩니다.

앞면과 뒷면이 반반이 가장 많이 나타나며 (20번), 중앙에 위치하고 가장 흔하기 때문에 중앙값이자 최빈값이 됩니다. 이제 로그 시각을 벗어나봅시다.

최빈값은 하향 곡선을 그립니다. 이는 매 동전 던지기가 유리해 보이는 상황에서 충격적입니다. 시작할 때, 우리는 80을 얻거나 단지 50만 잃을 수 있습니다. 여기서는 65를 얻거나 40만 잃을 수 있고, 여기서는 40을 얻거나 25만

잃습니다. 이를 "단 하나 더의 패러독스(Just One More Paradox)"라고 합니다. 각 개별 던지기는 좋아 보이지만, 결과는 좋지 않습니다. 이 패러독스는 도박부터 사회적 관계, 인생 결정에 이르기까지 모든 것에 적용됩니다. 이것이 바로 수학의 아름다움입니다.

패러독스는 게임의 곱셈적 특성 때문에 발생합니다. 각 던지기는 우리의 전체 재산을 어떤 요인으로 곱합니다. 우리가 떨어질수록 얻을 수 있는 것은 줄어듭니다.

그렇다면 동전 던지기마다 우리의 전체 재산을 걸지 않고, 오직 고정된 금액인 50달러만 건다면 어떨까요? 이는 게임을 더하는 방식으로 바꾸는 것입니다. 로그 시각이 아니라 전략을 바꾼 것입니다. 이제 앞면은 항상 40달러를 주고, 뒷면은 어디에 있든 항상 25달러를 뺍니다. 이제 우리의 최빈값은 평균과 같고 상향 곡선을 그립니다. 멋지죠!

하지만 이 전략은 완벽하지 않습니다. 50달러보다 적은 금액을 가지고 있으면 얼마를 걸어야 할까요? 1000달러에 도달하면 베팅 금액을 올려야 할까요? 영상을 멈추고 더 나은 전략이 무엇인지 생각해보세요.

우리의 재산의 일정 부분만 걸어보는 것은 어떨까요? 예를 들어 1/5, 아니면 1/10 같은. 앞면이 나오면 우리의 재산은 1 + 0.8의 1/10으로 곱해집니다. 뒷면이 나오면 재산은 1 - 0.5의 1/10으로 곱해집니다.

2번의 앞면과 2번의 뒷면을 던졌다면, 우리의 식은 이렇게 보일 겁니다. 또는 간단히... 1번의 앞면과 1번의 뒷면을 던졌다면, 이렇게 됩니다. 우리의 최빈값과 중앙값은 반반으로 앞면과 뒷면을 던지는 것입니다. 이 식은 동전 던지기당 예상되는 최빈값 성장률을 줍니다! 최빈값은 동전 던지기당 1.013배로 증가할 것이며, 이는 순수익입니다.

참고로 이것을 기하평균이라고 합니다.

그렇다면 우리의 재산의 1/10을 거는 것이 최적일까요? 왜 1/15나 1/5가 아닐까요? 이 질문에 대답하기 위해, 우리는 식을 일반화할 수 있습니다. F가 우리가 거는 재산의 비율, B가 이득, A가 손실, P와 Q가 앞면과 뒷면의 확률이라고 가정합시다. 이제 이 변수들을 대입해봅시다. 그래프를 그려보죠!

x축은 거는 재산의 비율을 나타내고, y축은 최빈값의 성장률을 나타냅니다. f가 0일 때는 아무것도 걸지 않으므로 재산의 변화가 없고, 성장률은 1입니다. f가 1일 때는 전체 재산을 걸고 있으며, 손실을 보고 있기 때문에 성장률은 0.949입니다. 하지만 이 강조된 부분에서는 우리가 돈을 벌고 있습니다.

가장 높은 성장률은 이 곡선의 기울기가 평평할 때 발생합니다. 이 지점을 찾기 위해 미적분학을 사용할 수 있습니다. 만약 미적분학을 아직 모른다면, 다음 20초 동안은 좀 더 집중해 보세요. 우리는 r에 대해 로그 미분을 하고 dr/df를 0으로 설정한 다음, f에 대해 풀어냅니다. 이제 다시 집중하세요. 이 방정식은 곡선의 정점이 어디에 있는지 알려줍니다.

우리의 값으로 대입하면 0.375가 나옵니다. 이것은 우리의 성장률을 극대화하기 위해 걸어야 하는 재산의 비율입니다. 이 비율에서 최빈값 성장률은 동전 던지기당 1.028입니다.

이제 백만 명이 각자 자신의 재산의 0.375만을 걸고 시뮬레이션을 다시 실행해봅시다. 여기 평균이 있습니다... 그리고 이번에는 중앙값이 꾸준히 증가합니다! 모든 것은 이 방정식, 켈리 기준(Kelly Criterion) 덕분입니다. 1956년에 존 래리 켈리 주니어에 의해 기술된 이 방정식은 투자자들에게 널리 사용되며, 성장률을 극대화하기 위해 걸어야 하는 재산의 비율을 명시합니다.

켈리 기준(Kelly Criterion)은 투자 및 도박과 같은 상황에서 장기적인 성장률을 최대화하기 위해 걸어야 할 자본의 비율을 계산하는 수학적 공식입니다. 이 기준은 1956년 AT&T의 벨 연구소에서 일하던 과학자 존 래리 켈리 주니어(John Larry Kelly Jr.)에 의해 처음 소개되었습니다.

켈리 기준의 주요 개념

켈리 기준의 핵심은 장기적인 기대수익을 최대화하는 최적의 베팅 비율을 찾는 것입니다. 이 비율은 다음 요소들을 고려하여 결정됩니다:

1. 이득과 손실의 확률: 각각의 베팅에서 이기거나 지는 확률.
2. 배당률: 베팅에서 이겼을 때 받게 되는 수익률.

켈리 공식

켈리 기준의 수학적 공식은 다음과 같습니다:

$$ f^* = \frac{bp - q}{b} $$

여기서:

• $f^*$는 전체 자본의 어떤 비율로 베팅해야 하는지를 나타냅니다.
• $b$는 이길 경우 받게 되는 배당률입니다 (예: 2의 배당률은 이길 경우 원래 베팅한 금액의 두 배를 받는 것을 의미).
• $p$는 이길 확률입니다.
• $q$는 질 확률로, $1 - p$로 계산됩니다.

켈리 기준의 장단점

장점:

• 장기적인 자본 성장 최적화: 켈리 기준은 장기적으로 볼 때 최대의 수익을 달성할 수 있는 베팅 비율을 제공합니다.
• 파산 위험 감소: 전체 자본을 한 번에 걸지 않기 때문에 파산할 확률이 줄어듭니다.

단점:

• 변동성 증가: 켈리 기준에 따라 베팅하면 단기적으로 자본의 가치가 크게 변동할 수 있습니다.
• 정확한 확률과 배당률 추정 필요: 켈리 공식은 정확한 확률과 배당률을 알아야만 효과적으로 사용할 수 있습니다. 잘못된 추정은 손실을 초래할 수 있습니다.

적용

켈리 기준은 도박 뿐만 아니라 주식, 옵션 트레이딩, 스포츠 베팅 등 다양한 금융 투자 분야에서도 활용됩니다. 이 기준을 사용하여 투자자들은 자신의 포트폴리오에 대한 최적의 베팅 비율을 계산하여 장기적인 자본 성장을 극대화할 수 있습니다.