벡터 공간과 부분공간

벡터 공간과 부분공간Math/Article2023. 4. 17. 10:41@Ray 수학

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벡터 공간과 부분공간은 선형 대수학의 핵심 개념입니다. 이 글에서는 초급부터 고급 수준까지 벡터 공간과 부분공간에 관한 다양한 개념을 다룹니다. 이해하기 쉬운 설명, 그래프 및 수식을 사용하여 독자가 직관적으로 개념을 이해할 수 있게 도와드리겠습니다.

1. 벡터 공간의 정의와 예

벡터 공간은 여러 가지 성질을 만족하는 벡터 집합입니다. 벡터 공간의 정의를 살펴보고 예를 통해 이해해봅시다.

벡터 공간 $V$는 스칼라 곱과 벡터 덧셈에 대해 닫혀있는 벡터의 집합입니다. 벡터 공간은 다음 성질을 만족해야 합니다.

덧셈의 교환법칙: $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
덧셈의 결합법칙: $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V, (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
덧셈의 항등원: $\exists \vec{0} \in V, \forall \vec{v} \in V, \vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$
덧셈의 역원: $\forall \vec{v} \in V, \exists -\vec{v} \in V, \vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$
스칼라 곱의 결합법칙: $\forall a, b \in \mathbb{R}, \forall \vec{v} \in V, a(b\vec{v}) = (ab)\vec{v}$
스칼라 곱의 항등원: $\forall \vec{v} \in V, 1\vec{v} = \vec{v}$
스칼라 곱의 분배법칙(벡터에 대해): $\forall a \in \mathbb{R}, \forall \vec{u}, \vec{v} \in V, a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
스칼라 곱의 분배법칙(스칼라에 대해): $\forall a, b \in \mathbb{R}, \forall \vec{v} \in V, (a+b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$

실수 공간: 실수 공간 $\mathbb{R}^n$은 n차원의 실수 벡터들의 집합입니다. 예를 들어, 2차원 실수 공간인 $\mathbb{R}^2$는 2차원 평면 상의 모든 점들을 나타냅니다.
다항식 공간: 다항식 공간 $P_n$은 차수가 n 이하인 모든 다항식들의 집합입니다. 예를 들어, $P_2$는 모든 이차 다항식들의 집합입니다.

부분공간은 벡터 공간 내의 다른 벡터 공간입니다. 부분공간의 정의와 선형 독립의 개념을 살펴봅시다.

벡터 공간 $V$의 부분공간은 $V$의 벡터들의 부분집합이면서 그 자체로 벡터 공간인 집합입니다. 부분공간 $W$는 다음 성질을 만족해야 합니다.

벡터들의 선형 독립 여부는 그들이 공간에서 어떻게 배열되어 있는지를 나타냅니다.

선형 독립: 벡터 집합 $\vec{v}1$, $\vec{v}_2$, $...$, $\vec{v}_n$이 선형 독립일 때, 다음 성질이 만족됩니다: $\sum{i=1}^n a_i\vec{v}_i = \vec{0}$의 해는 $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$ 뿐입니다.
선형 종속: 벡터 집합이 선형 독립이 아닐 경우 선형 종속입니다. 이는 다음 성질이 만족됩니다: $\sum_{i=1}^n a_i\vec{v}_i = \vec{0}$의 해가 $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$ 이외의 해를 가집니다.

기저는 벡터 공간을 구성하는 선형 독립인 벡터들의 집합입니다. 기저를 이용하여 벡터 공간의 모든 벡터를 표현할 수 있습니다. 차원은 벡터 공간의 기저에 속하는 벡터의 개수입니다.

기저: 벡터 공간 $V$의 기저는 $V$의 모든 벡터를 선형 결합으로 표현할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합입니다. 기저 $\mathcal{B} = {\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n}$는 다음 성질을 만족합니다:
1. 선형 독립: $\sum_{i=1}^n a_i\vec{v}_i = \vec{0}$의 해는 $a_1 = a_2 = ... = a_n = 0$ 뿐입니다.
2. 생성: $\forall \vec{v} \in V, \vec{v} = \sum_{i=1}^n a_i\vec{v}_i$ for some $a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{R}$.
예: 실수 공간 $\mathbb{R}^n$의 표준 기저는 단위 벡터들의 집합입니다: $\mathcal{E} = {\vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n}$, 여기서 $\vec{e}_i = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)$ (1은 i번째 위치에 있음).

벡터 공간의 차원은 기저에 속하는 벡터의 개수입니다. 차원은 벡터 공간의 성질을 나타내는 중요한 개념입니다. 예를 들어, $\mathbb{R}^n$의 차원은 n입니다.

이 섹션에서는 벡터 공간, 부분공간, 기저, 차원, 선형 독립에 관한 연습 문제와 해설을 제공합니다.

벡터 집합 ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$이 $\mathbb{R}^3$의 기저가 되려면 어떤 조건을 만족해야 하는지 설명하십시오.

${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$가 $\mathbb{R}^3$의 기저가 되려면 다음 조건을 만족해야 합니다.

선형 독립: $\alpha_1\vec{v}_1 + \alpha_2\vec{v}_2 + \alpha_3\vec{v}_3 = \vec{0}$의 해는 $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0$ 뿐입니다.
생성: $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터는 ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$의 선형 결합으로 표현될 수 있어야 합니다.

만약 이 두 조건을 만족한다면, ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$는 $\mathbb{R}^3$의 기저가 됩니다.