기하학: 유클리드, 비유클리드, 사영 | Geometry: Euclidean, Non-Euclidean, and Projective

기하학은 공간에서 물체의 모양, 크기 및 위치에 대한 연구를 다루는 수학의 한 분야입니다. 고대 그리스에 뿌리를 둔 가장 오래된 수학 분야 중 하나입니다. 기하학은 유클리드 기하학, 비 유클리드 기하학 및 사영 기하학을 포함한 여러 하위 분야로 나눌 수 있습니다. 이 기사에서는 기하학의 세 가지 하위 분야와 그 차이점을 살펴보겠습니다.

 

유클리드 기하학

유클리드 기하학은 기하학의 가장 친숙하고 전통적인 분야입니다. 그것은 기하학의 아버지로 널리 여겨지는 고대 그리스 수학자 유클리드의 이름을 따서 명명되었습니다. 유클리드의 유명한 책 "원론"는 수세기 동안 가르치고 연구 된 유클리드 기하학의 기본 원리를 제시합니다. 유클리드 기하학은 평평한 공간에서 2 차원 및 3 차원 도형을 다룹니다.

유클리드 기하학에서 기본 빌딩 블록은 점, 선 및 평면입니다. 점은 공간에서의 위치이고 선은 두 방향으로 확장되는 점의 무한한 모음입니다. 평면은 모든 방향으로 무한히 확장되는 2차원 표면입니다. 유클리드 기하학은 다음을 포함한 몇 가지 기본 공리 또는 가정을 기반으로합니다.

• 두 점이 고유한 선을 결정합니다.
• 선에는 두 개 이상의 점이 포함됩니다.
• 두 개의 선이 최대 한 점에서 교차합니다.
• 두 점이 주어지면 그 점을 통과하는 고유 한 선이 있습니다.
• 선과 선에없는 점이 주어지면 점을 통과하는 주어진 선과 평행 한 고유 한 선이 존재합니다.

이러한 공리로부터 유클리드 기하학은 다양한 모양과 도형의 속성을 설명하는 풍부한 정리와 증명을 구축합니다.

 

비유클리드 기하학

비유클리드 기하학은 수학에서 보다 최근에 발전한 것이며 유클리드 기하학의 기본 가정 중 일부에 도전합니다. 비유클리드 기하학은 구의 표면이나 쌍곡선 표면과 같이 어떤 식으로든 구부러지거나 뒤틀린 공간을 다룹니다. 비유클리드 기하학에서 기본 빌딩 블록은 여전히 점, 선 및 평면이지만 속성과 관계는 유클리드 기하학의 속성과 관계와 다릅니다.

가장 유명한 비 유클리드 기하학 중 하나는 19 세기 헝가리 수학자 János Bolyai와 러시아 수학자 Nikolai Lobachevsky가 처음 개발 한 쌍곡선 기하학입니다. 쌍곡선 기하학은 삼각형 각도의 합이 항상 180도 미만인 곡선 공간의 기하학입니다. 이것은 삼각형의 각도의 합이 항상 정확히 180도인 유클리드 기하학과 대조됩니다.

또 다른 유명한 비 유클리드 기하학은 타원 기하학으로, 구의 곡선 공간 기하학입니다. 타원 기하학에서 삼각형 각도의 합은 항상 180도보다 큽니다.

비유클리드 기하학은 물리학, 토폴로지 및 대수 기하학을 포함한 수학의 많은 영역에서 중요한 응용 프로그램을 가지고 있습니다. 또한 우주의 새로운 모델을 개발하고 일반 상대성 이론에서 시공간의 기하학을 연구하는 데 사용되었습니다.

 

사영 기하학

사영 기하학은 투영 하에서 불변으로 유지되는 기하학적 도형의 속성을 다루는 기하학의 한 분야입니다. 사영은 점과 선을 고정 평면에 맞게 확장하여 한 공간에서 다른 공간으로 매핑하는 프로세스입니다. 사영 기하학에서 점, 선 및 평면은 동일한 것으로 간주되며 초점은 투영 하에서 불변으로 유지되는 특성에 있습니다.

사영 기하학은 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 비전 및 대수 기하학을 포함한 수학의 많은 영역에서 사용됩니다. 엔지니어링, 건축 및 물리학 분야에서 중요한 응용 프로그램이 있습니다.

투영 기하학의 핵심 개념 중 하나는 이중성입니다. 투영 기하학에서 점과 선에 대해 유지되는 모든 정리 또는 속성은 선과 점에 대해 유지되는 해당 정리 또는 속성으로 이원화 될 수 있습니다. 이것은 투영 기하학이 새로운 정리와 속성을 도출하는 데 사용할 수 있는 풍부한 이중성 관계 집합을 가지고 있음을 의미합니다.

투영 기하학의 또 다른 중요한 개념은 투영 불변성을 유지하는 점과 선의 변형 인 투영 변환입니다. 투영 변환은 하나의 투영 공간을 다른 투영 공간에 매핑하는 데 사용할 수 있으며 투영 기하학, 대수 기하학 및 미분 기하학을 포함한 수학의 많은 영역에서 유용합니다.

투영 기하학은 또한 유클리드 및 비 유클리드 기하학과 밀접한 관련이 있습니다. 사실, 투영 기하학은 유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학의 일반화로 볼 수 있습니다. 예를 들어, 유클리드 기하학에서는 평행선이 만나지 않지만 투영 기하학에서는 평행선이 무한대의 한 지점에서 만납니다. 마찬가지로 쌍곡선 기하학에서 삼각형 각도의 합은 180도 미만이지만 투영 기하학에서는 삼각형 각도의 합이 항상 180도입니다.

 

유클리드, 비유클리드, 사영기하학의 차이점

유클리드, 비유클리드 및 사영 기하학은 여러 면에서 다릅니다. 다음은 몇 가지 주요 차이점입니다.

• 유클리드 기하학은 평면, 2 차원 및 3 차원 공간을 다루는 반면 비 유클리드 기하학은 곡선 공간을 다룹니다.
• 유클리드 기하학에서는 평행선이 만나지 않는 반면, 비 유클리드 기하학에서는 평행선이 한 점에서 만나거나 무한히 발산 할 수 있습니다.
• 유클리드 기하학은 몇 가지 기본 공리를 기반으로하는 반면, 비 유클리드 기하학은 이러한 공리 중 일부에 도전합니다.
• 투영 기하학에서는 점, 선 및 평면이 동등한 것으로 간주되는 반면 유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학에서는 고유 한 속성과 관계가 있습니다.

 

기하학의 응용

기하학은 다음을 포함하여 실제 세계에서 많은 실용적인 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

• 건축: 건축가는 지오메트리를 사용하여 건물, 교량 및 기타 구조물을 설계합니다.
• 엔지니어링: 엔지니어는 지오메트리를 사용하여 기계, 차량 및 기타 기계 시스템을 설계합니다.
• 예술과 디자인: 아티스트와 디자이너는 기하학을 사용하여 미학적으로 즐거운 패턴과 디자인을 만듭니다.
• 내비게이션: 내비게이션 시스템은 지오메트리를 사용하여 거리, 각도 및 경로를 계산합니다.
• 천문학: 천문학자들은 기하학을 사용하여 행성, 별, 은하의 움직임과 위치를 연구합니다.
• 물리학: 물리학자들은 기하학을 사용하여 시공간의 특성과 공간에서 입자의 거동을 연구합니다.

 

결론

결론적으로 기하학은 공간에서 물체의 모양, 크기 및 위치에 대한 연구를 다루는 흥미롭고 중요한 수학 분야입니다. 유클리드, 비유클리드 및 투영 기하학은 가정, 속성 및 적용이 다른 기하학의 세 가지 하위 분야입니다. 유클리드 기하학은 기하학의 가장 친숙하고 전통적인 분야이며, 비 유클리드 기하학은 유클리드 기하학의 기본 가정 중 일부에 도전합니다. 투영 기하학은 투영 하에서 불변으로 남아있는 기하학적 도형의 속성을 다루는 유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학의 일반화입니다. 기하학은 건축 및 엔지니어링에서 항해 및 천문학에 이르기까지 실제 세계에서 많은 실용적인 응용 프로그램을 가지고 있습니다.

 

자주하는질문

1. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 차이점은 무엇입니까? 유클리드 기하학은 평면, 2 차원 및 3 차원 공간을 다루는 반면 비 유클리드 기하학은 곡선 공간을 다룹니다. 유클리드 기하학에서는 평행선이 만나지 않는 반면, 비유클리드 기하학에서는 평행선이 한 점이나 다이버에서 만날 수 있습니다.
2. 기하학의 실제 응용 프로그램에는 어떤 것이 있습니까? 기하학은 건축, 엔지니어링, 예술 및 디자인, 항법, 천문학 및 물리학을 포함하여 실제 세계에서 많은 실용적인 응용 프로그램을 가지고 있습니다.
3. 사영 기하학은 유클리드 및 비유클리드 기하학과 어떤 관련이 있습니까? 사영 기하학은 유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학의 일반화로 볼 수 있습니다. 투영 기하학에서는 점, 선 및 평면이 동등한 것으로 간주되는 반면 유클리드 기하학과 비 유클리드 기하학에서는 고유 한 속성과 관계가 있습니다.
4. 사영 기하학에서 이중성의 중요성은 무엇입니까? 이중성은 점과 선을 유지하는 모든 정리 또는 속성이 선과 점에 대해 유지되는 해당 정리 또는 속성으로 이원화될 수 있도록 하기 때문에 사영 기하학에서 중요한 개념입니다. 이는 새로운 정리와 속성을 도출하는 데 사용할 수 있는 풍부한 관계 및 속성 집합을 제공합니다.
5. 기하학은 수학의 다른 영역과 어떤 관련이 있습니까? 기하학은 토폴로지, 그룹 이론, 대수 기하학 및 미분 기하학을 포함한 수학의 많은 영역과 관련이 있습니다. 이 분야의 많은 개념과 기술은 기하학적 직관과 아이디어를 기반으로합니다.

 

참고 문헌 및 추가 자료

• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to geometry (2nd ed.). John Wiley & Sons.
• Hartshorne, R. (1997). Geometry: Euclid and beyond. Springer Science & Business Media.
• Stillwell, J. (1992). The four pillars of geometry. Springer Science & Business Media.
• Wolfram MathWorld. (n.d.). Projective Geometry. Retrieved March 4, 2023, from https://mathworld.wolfram.com/ProjectiveGeometry.html

 

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Geometry: Euclidean, Non-Euclidean, and Projective

Geometry is the branch of mathematics that deals with the study of shapes, sizes, and positions of objects in space. It is one of the oldest branches of mathematics, with roots in ancient Greece. Geometry can be divided into several sub-disciplines, including Euclidean geometry, non-Euclidean geometry, and projective geometry. In this article, we will explore these three sub-disciplines of geometry and their differences.

Euclidean Geometry

Euclidean geometry is the most familiar and traditional branch of geometry. It is named after the ancient Greek mathematician Euclid, who is widely considered as the father of geometry. Euclid's famous book "Elements" lays out the fundamental principles of Euclidean geometry, which have been taught and studied for centuries. Euclidean geometry deals with two-dimensional and three-dimensional figures in flat space.

In Euclidean geometry, the basic building blocks are points, lines, and planes. A point is a location in space, and a line is an infinite collection of points that extends in two directions. A plane is a two-dimensional surface that extends infinitely in all directions. Euclidean geometry is based on several fundamental axioms, or assumptions, including the following:

• Two points determine a unique line.
• A line contains at least two points.
• Two lines intersect in at most one point.
• Given any two points, there exists a unique line that passes through them.
• Given a line and a point not on the line, there exists a unique line parallel to the given line that passes through the point.

From these axioms, Euclidean geometry builds up a rich set of theorems and proofs that describe the properties of various shapes and figures.

Non-Euclidean Geometry

Non-Euclidean geometry is a more recent development in mathematics, and it challenges some of the fundamental assumptions of Euclidean geometry. Non-Euclidean geometry deals with spaces that are curved or warped in some way, such as the surface of a sphere or a hyperbolic surface. In non-Euclidean geometry, the basic building blocks are still points, lines, and planes, but their properties and relationships are different from those in Euclidean geometry.

One of the most famous non-Euclidean geometries is hyperbolic geometry, which was first developed by the Hungarian mathematician János Bolyai and the Russian mathematician Nikolai Lobachevsky in the 19th century. Hyperbolic geometry is a geometry of curved space, where the sum of the angles of a triangle is always less than 180 degrees. This is in contrast to Euclidean geometry, where the sum of the angles of a triangle is always exactly 180 degrees.

Another famous non-Euclidean geometry is elliptic geometry, which is the geometry of curved space on a sphere. In elliptic geometry, the sum of the angles of a triangle is always greater than 180 degrees.

Non-Euclidean geometry has important applications in many areas of mathematics, including physics, topology, and algebraic geometry. It has also been used to develop new models of the universe and to study the geometry of space-time in general relativity.

Projective Geometry

Projective geometry is a branch of geometry that deals with the properties of geometric figures that remain invariant under projection. Projection is the process of mapping points and lines from one space to another by extending them to meet a fixed plane. In projective geometry, points, lines, and planes are considered as equivalent, and the focus is on the properties that remain invariant under projection.

Projective geometry is used in many areas of mathematics, including computer graphics, computer vision, and algebraic geometry. It has important applications in engineering, architecture, and physics. It also has connections to other areas of mathematics, such as topology and group theory.

One of the key concepts in projective geometry is duality. In projective geometry, any theorem or property that holds for points and lines can be dualized to a corresponding theorem or property that holds for lines and points. This means that projective geometry has a rich set of duality relationships that can be used to derive new theorems and properties.

Another important concept in projective geometry is the projective transformation, which is a transformation of points and lines that preserves projective invariance. Projective transformations can be used to map one projective space to another, and they are useful in many areas of mathematics, including projective geometry, algebraic geometry, and differential geometry.

Projective geometry is also closely related to Euclidean and non-Euclidean geometry. In fact, projective geometry can be viewed as a generalization of both Euclidean and non-Euclidean geometry. For example, in Euclidean geometry, parallel lines never meet, but in projective geometry, parallel lines meet at a point at infinity. Similarly, in hyperbolic geometry, the sum of the angles of a triangle is less than 180 degrees, but in projective geometry, the sum of the angles of a triangle is always 180 degrees.

Differences Between Euclidean, Non-Euclidean, and Projective Geometry

Euclidean, non-Euclidean, and projective geometries differ in several ways. Here are some of the main differences:

• Euclidean geometry deals with flat, two-dimensional and three-dimensional space, while non-Euclidean geometry deals with curved space.
• In Euclidean geometry, parallel lines never meet, while in non-Euclidean geometry, parallel lines can meet at a point or diverge infinitely.
• Euclidean geometry is based on several fundamental axioms, while non-Euclidean geometry challenges some of these axioms.
• In projective geometry, points, lines, and planes are considered equivalent, while in Euclidean and non-Euclidean geometry, they have distinct properties and relationships.

Applications of Geometry

Geometry has many practical applications in the real world, including:

• Architecture: Architects use geometry to design buildings, bridges, and other structures.
• Engineering: Engineers use geometry to design machines, vehicles, and other mechanical systems.
• Art and Design: Artists and designers use geometry to create aesthetically pleasing patterns and designs.
• Navigation: Navigation systems use geometry to calculate distances, angles, and routes.
• Astronomy: Astronomers use geometry to study the movements and positions of planets, stars, and galaxies.
• Physics: Physicists use geometry to study the properties of space-time and the behavior of particles in space.

Conclusion

In conclusion, geometry is a fascinating and important branch of mathematics that deals with the study of shapes, sizes, and positions of objects in space. Euclidean, non-Euclidean, and projective geometries are three sub-disciplines of geometry that differ in their assumptions, properties, and applications. Euclidean geometry is the most familiar and traditional branch of geometry, while non-Euclidean geometry challenges some of the fundamental assumptions of Euclidean geometry. Projective geometry is a generalization of both Euclidean and non-Euclidean geometry that deals with the properties of geometric figures that remain invariant under projection. Geometry has many practical applications in the real world, from architecture and engineering to navigation and astronomy.

FAQs

1. What is the difference between Euclidean and non-Euclidean geometry? Euclidean geometry deals with flat, two-dimensional and three-dimensional space, while non-Euclidean geometry deals with curved space. In Euclidean geometry, parallel lines never meet, while in non-Euclidean geometry, parallel lines can meet at a point or diver
2. What are some real-world applications of geometry? Geometry has many practical applications in the real world, including architecture, engineering, art and design, navigation, astronomy, and physics.
3. How does projective geometry relate to Euclidean and non-Euclidean geometry? Projective geometry can be viewed as a generalization of both Euclidean and non-Euclidean geometry. In projective geometry, points, lines, and planes are considered equivalent, while in Euclidean and non-Euclidean geometry, they have distinct properties and relationships.
4. What is the importance of duality in projective geometry? Duality is an important concept in projective geometry because it allows any theorem or property that holds for points and lines to be dualized to a corresponding theorem or property that holds for lines and points. This provides a rich set of relationships and properties that can be used to derive new theorems and properties.
5. How is geometry relevant to other areas of mathematics? Geometry is relevant to many areas of mathematics, including topology, group theory, algebraic geometry, and differential geometry. Many concepts and techniques in these areas are based on geometric intuition and ideas.

References and Further Reading

• Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to geometry (2nd ed.). John Wiley & Sons.
• Hartshorne, R. (1997). Geometry: Euclid and beyond. Springer Science & Business Media.
• Stillwell, J. (1992). The four pillars of geometry. Springer Science & Business Media.
• Wolfram MathWorld. (n.d.). Projective Geometry. Retrieved March 4, 2023, from https://mathworld.wolfram.com/ProjectiveGeometry.html

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Geometry, Euclidean Geometry, Non-Euclidean Geometry, Projective Geometry, Duality, Projective Transformation, Applications of Geometry, Architecture, Engineering, Art and Design, Navigation, Astronomy, Physics.