유리다리게임으로 보는 오징어게임 속 수학 | 이 사람이 수학 선생이 아닌 진짜 이유

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오징어게임을 보면 수학선생님이 한 명 나옵니다. 그리고 유리 다리 위에서 자신이 살아남을 확률을 계산합니다.

 

혹시나 안보신 분들을 위해 유리다리 게임을 잠깐 설명드리면 한 가로줄마다 랜덤하게 배치된 강화유리와 일반유리 하나씩  2칸으로 이루어진 총 18줄의 다리를 건너는 게임입니다. 강화유리는 두 사람이 올라서도 끄떡없지만 일반유리는 한 사람만 올라서도 바로 깨지죠. 따라서 우리는 강화유리 18개를 밟고 저 끝까지 이동해야 합니다. 참가자들은 게임 전 각자 번호를 선택하게 되고, 각자 고른 번호 순서대로 다리를 건너게 됩니다.

 

3번을 고른 수학교사는 앞에 3개를 제외한 남은 다리의 개수가 15개임을보고 독립시행의 확률로 자신이 살아남을 확률이 1/ 2^15 즉 1/32768이라 계산합니다. 그리고 살아남지 못하겠다 판단하며 돌진하기 시작합니다. 독립시행의 확률로 보았을 때 각 번호마다 이 게임에서 살아남을 확률은 다음과 같으므로 사실 몇 명 살아남지 못한 것은 당연한 결과처럼 보입니다.

 

여기서 여러분들에게 질문을 한가지 드리려합니다. 오징어게임에 나왔던 유리의 배열을 기억하고 계신가요? 기억하고 계시지 않아도 아니면 오징어게임을 보지 않았다고 하더라도 상관 없습니다. 짧은 시간이지만 그 배열이 어땠는지또는 18개의 좌우 무작위 배열은 어떨지 한 번만 생각해보시기 바랍니다. 생각하셨나요? 

 

자 그렇다면 다음 3가지 배열 중 실제로 오징어게임에 사용된 배열은 어떤 것이었을까요?

1 - LRLRRLRRRLLRLLRLRL

2 - RLLRLRLLRRLRLRLLLR

3 - LRRRRLRRLRRRLLLRRL

4 - RLLLRRLRLLRRLLLRRL

5 - LRRRLRLRRLLRRLLRLR

 

이 문제의 정답율은 20%를 넘을 수 있을까요? 우선 정답은 3번입니다. 오징어 게임에 진심이라면 맞출수도 있지만 일반적으로 맞추기엔 어려웠을 것입니다. 왜냐하면 3번은 이 선지들 중 가장 긴 연속열을 포함하고 있습니다. 다른말로가장 같은 것이 많이 반복됩니다.

 

이해하기 쉽게 유리가 4개 밖에 없다고 해보도록하겠습니다. 유리 4개에서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 총 2^4 = 16 가지입니다. 16가지 중 하나도 연속한 방향이 나오지 않는 경우의 수는 2가지이므로 서로 엇갈려 나올 확률은1/8=12.5%입니다. 다음으로 2번 연속으로 정확히 이어진 방향으로 연속해서 나올확률은 1/2, 3번이 연속해서 나올 확률은 1/4, 4개 모두 같을 확률은 12.5%입니다. 여기서 우리가 주의해서 볼 점이 두가지 있습니다.

 

첫번째는 모두 엇갈리는 경우의 수와 모두 같은 경우의 수는 같으므로 이 두 경우는 나올 확률이 같다는 점입니다. 두번째는 2번 연속 이상 또는 3번 연속으로 같은 방향일 확률이라고 본다면 확률이 매우 커진다는 점입니다. 이 둘을 종합하면 무작위열에서는 우리가 생각하는 것보다 연속으로 같은 방향일 확률이 클 것이라는 것을 확인할 수 있습니다.

 

유리의 개수가 5개라고 해보면 어떻게될까요? R과 L이 서로 바뀌는 비율이 같으므로 절반만 조사하여 확률을 구해보면 연속열이 최대 1개 즉 번갈아 있을 확률은 1/16, 최대 2개가 연속할 확률은 7/16, 최대 3개가 연속할 확률은 5/16, 최대 4개는 1/8, 모두 연속할 확률은 1/16입니다. 즉, 무작위열에서 3개 이상 다른말로 5개 중 절반이 넘게 연속할 확률은50%입니다.

 

왜 이렇게 될까요? 무작위열은 각 선택이 독립적으로 일어납니다. 오른쪽 유리가 강화유리일 확률은 1/2입니다. 그리고 2개가 연속해서 오른쪽이 강화유리일 확률은 곱의 법칙에 의해1/2^2입니다. 따라서 n개가 연속해서 오른쪽이 강화유리일 확률은 1/2^n입니다. 그래서 우리는 계속 같은 방향이 강화유리일 확률이 작다고 느낄 수 있습니다. 하지만 조금만 생각을 바꿔봅시다. 4번 연속 강화유리일 확률은 1/16입니다. 그리고 유리는 18개입니다. 각 지점에서 4번 연속일확률은 1/16이고, 이 시도를 마지막 3번을 제외하고 15번이나 할 수 있습니다. 실제 확률은 포함배제의 원리에 의해 줄어들긴 하지만 우리의 생각보다 훨씬 큰 확률로 4번의 연속열이 생기게 된다는데는 변함이 없습니다. 저는 그래서 pi와같은 무한소수의 무작위열에서 9가 연속된 파인만 포인트의 존재가 우연이 아니라 필연적 결과라고 해석해야 한다고생각합니다. (angio.net/pi)

 

만약 그 수학선생이 연속열이 자주 생긴다는 사실에 기반하여 참가자들이 유리다리 게임을 할 수 있도록 했다면 훨씬적은 사람을 희생시키고 게임을 끝낼 수 있었습니다.(오류) 물론 진짜 이과였다면 유리다리 사이로 걸어가거나 두 사람이 강화유리 위에 올라가 힘을 모아 앞의 다리를 깨면서 나아가는 등 더 창의적인 방법을 생각했겠지만요. 하지만 실제 게임에서는 트롤링들로 인해 수학적으로 생존할 것이라 기대할 수 있는 인원보다 많은 인원들이 죽었습니다.   

 

여담으로 오징어게임을 참가할거냐는 질문들을 서로에게 많이 합니다. 오징어 게임은 1사람 당 1억의 몸값이 책정되어있고 역대 우승자들이 1명인 것으로 미루어보아 기댓값은 1억이라 볼 수 있습니다. 즉 목숨을 베팅하고 1억을 버는게임인 것이죠. 여러분들이 남은 생을 살아가면서 1억을 벌 수 없다고 생각이 된다면 게임에 참가하는 것이 합리적이고 1억 이상을 벌 수 있다고 생각이 든다면 게임에 참가하지 않는 것이 합리적일 것입니다. 여러분들은 게임에 참가하실 건가요? 오늘 수업은 여기까지

 

 

영상 내용 중 정정할 부분이 있어 알려드립니다.

- 독립시행인 확률게임에서 더 나은 전략이 존재할 수 있나?
없습니다. 우선 오른쪽 또는 왼쪽 둘 중 어느 것을 선택하더라도 나올 확률은 동일하므로 어떤 전략을 선택하더라도 살아남는 사람수의 기댓값은 동일합니다.

- 그런데 왜 한 방향만 찍으라고 하나?
5:10에 괜히 저 부분을 넣어 혼란을 드렸습니다. 제가 강조드리고 싶은 것은 '우리의 생각보다 연속열은 자주 발생한다.'입니다. 오징어 게임에서 나온 유리 배열이 그것을 잘 보여줄 수 있는 예시라 이것을 더 강조해보려고 했던 과정에서 오류가 생겼습니다.(바카라 같은데서 써먹으시면 안됩니다 =ㅅ=)

- 영상 보시고 제가 부족한 부분을 지적해주시는데 항상 감사드립니다. 그냥 있는 개념에 제 의견도 조금씩 넣으면서 원고를 쓰다보니 매끄럽지 않은 부분이 생기는데 여기서 수학적으로 문제가 생기는 것 같습니다. 더 나은 전략이 있다가 아닌 '무작위열에서는 연속열이 자주 발생한다'는 사실에만 초점을 맞춰주시기 바랍니다.