연속확률변수와 확률밀도함수어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가질 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. $a \leq X \leq b$에서 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대해 정의된 함수 $f(x)$가 아래 세 가지 조건을 만족하면 이를 확률밀도함수라 합니다.$f(x) \geq 0$$y = f(x)$의 그래프와 $x$-축 및 두 직선 $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 1입니다.$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$특정 구간에서의 확률은 다음과 같이 계산됩니다.$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$$정규분포실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 아래 식으로 ..

‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta Magazine ‘Groups’ Underpin Modern Math. Here’s How They Work. | Quanta MagazineWhat do the integers have in common with the symmetries of a triangle? In the 19th century, mathematicians invented groups as an answer to this question.www.quantamagazine.org 정수와 삼각형의 대칭성에는 어떤 공통점이 있을까요? 19세기 수학자들은 이 질문에 답하기 위해 군이라는 개념을 만들어냈습니다. “수학은 처음에 숫..

테셀레이션은 간격이나 겹침 없이 반복되는 패턴으로 도형을 배열하는 것을 말합니다. 이때, 합동 정다각형 모양만 사용하는 경우에 정규 테셀레이션이라 부릅니다. 같은 넓이를 갖는 정다각형 중 둘레의 길이의 합이 가장 작게하려면 정육각형으로 테셀레이션 해야하는데 만약 3차원에서 비슷한걸 하려면 어떤 모양이어야 할까요? 3차원도 벌집모양과 비슷하게 육각형과 사각형을 이용한 도형 만들면 될 것 같지만 1887년 켈빈(절대온도의 그 Kelvin)이 제안한 “깍은 정육면체 벌집(bitruncated cubic honeycomb)” 오각형과 육각형을 짜맞춘 도형이 더 효율적인 것이 밝혀졌습니다. 100년 뒤인 1997년 발표된 “웨이어-펠란 구조(Weaire–Phelan structure)” 아직 이보다 더 효율적인 ..

동전던지기를 100번 할 때 앞면이 50번이상 55번이하가 나올 확률은 몇일까요? 확률변수 X를 앞면이 나온 횟수라 하면 X는 이항분포 B(100,1/2)를 따릅니다. 고등학교 교육과정에서는 이항분포의 평균과 표준편차를 구해 정규분포로 근사시킨 후 X ~ N(50,5^2) 표준화공식을 이용해 확률을 구합니다. X가 50이상 55번 이하일 확률은 Z가 0이상 1이하일 확률과 같으므로 표준정규분포표에서 z=1.00인 값을 찾아보면 구하고자 하는 확률이 0.3413임을 얻을 수 있습니다. 그런데 이 확률은 정확할까요? 생각해보면 정규분포에서 확률을 구할 때 확률밀도함수를 적분하므로 Z가 0초과 1미만일 확률과 Z가 0이상 1이하일 확률은 같습니다. 이는 X가 50번 초과 55번 미만일 확률과 X가 50번이상 ..