연속확률변수와 확률밀도함수어떤 범위에 속하는 모든 실수의 값을 가질 수 있는 확률변수를 연속확률변수라고 합니다. $a \leq X \leq b$에서 모든 실수의 값을 가지는 연속확률변수 $X$에 대해 정의된 함수 $f(x)$가 아래 세 가지 조건을 만족하면 이를 확률밀도함수라 합니다.$f(x) \geq 0$$y = f(x)$의 그래프와 $x$-축 및 두 직선 $x = a$, $x = b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 1입니다.$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$특정 구간에서의 확률은 다음과 같이 계산됩니다.$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$$정규분포실수 전체의 집합에서 정의된 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$가 아래 식으로 ..

모든 점에서 미분 불가능한 연속함수가 있을까요? 연속은 쉽게 생각하면 이어져있는 함수입니다. 미분이 가능한 함수는 쉽게 생각하면 부드러운 함수입니다. 여러분들이 아무리 그래프를 들쭉날쭉그려도 확대해보면 조금은 부드러운 즉 미분 가능하므로 연속이지만 모든 점에서 미분 불가능할 수는 없을 것 같은데 함수를 다음과 같이 정의하면 Sum 1/2^n cos(3^nπx) n이 커짐에 따라 그래프는 점점 들쭉날쭉해지게 됩니다. 이 함수열급수로 생기는 극한함수는 아무리 확대해보아도 모든 값에서 미분이 불가능하게 됩니다. 끊어지지 않을만큼 충분히 뾰족해지는거죠. 참 쉽죠? 연속과 미분가능성에 대해 제가 영상에 사용한 표현에 대해 불편함을 느끼시는 분들이 많으실 것이라 예상합니다. 연속성은 그래프가 이어져 있는 것을 의미..

처음 무한을 배웠던 때가 언제 일까요? 중학교에서는 유리수를 정의하며 순환하는 무한소수를 다루게 됩니다. 그리고그 결과로 0.9999...=1임을 얻어냅니다. 유도과정을 잠시 살펴보겠습니다. 0.9999...를 s라 하면 10s=9.9999...이므로 이둘을 뺀 후 9 로 나누어주면 9s=9이므로 s=1임을 알 수 있습니다. 연산과정에서 보면 이는 너무나 명확해보이지만0.9999...는 1보다 작아보이는데 같다고 하는게 이해가 되진 않습니다. 고등학교에 올라와 극한에 대해 배우면 그래도이해가 되는 것 같지만 누군가 와서 태클을 걸면 틀린건 알겠는데 설명하기 힘드신 경험이 있을 것입니다. 사실 극한의개념을 다루지도 않고 바로 한 없이 나아간다는 개념으로 소수를 정의하나보니 중학교 과정에서 어려운 것은 당연..

소주병 뚜껑 달랑달랑 거리다가 떨어지는 것 같은데.. 해석학에서, 균등수렴(均等收斂, uniformly convergent)하는 함수열은 주어진 함수로 일제히 '동일한 속도'로 수렴하는 함수열입니다. 균등수렴은 점마다 수렴(점별수렴)보다 더 강한 개념이며, 점마다 수렴이 보존하지 않는 여러 성질(예: 연속성)을 보존합니다. 균등수렴은 고른수렴, 평등수렴(平等收斂), 일양수렴(一樣收斂)이라고도 불립니다. 영 youtu.be/756-55IDgis