인류는 어떻게 e를 발견했는가?

흔히 자연상수라 불리는 $e$는 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 합니다. 수학이나 자연과학, 심지어 사회과학에서도 등장하죠. 이렇게 모든 곳에서 볼 수 있는 $e$를 인류는 어떻게 발견하고 유도했을까요? $e$에 대한 모든 유도과정을 차근차근 살펴보도록 하죠.(앞으로 볼 내용 중에서는 여러분들이 공부하면서 봤던 내용들이 많이 있을 것 있니다. 아시는 내용은 건너뛰시면서 마지막에 왜 이 값이 다 같은 값으로 연결되는지 감상하시면 좋을 것 같습니다.)

이자 계산

$e$를 처음 발견하게된 계기는 우리가 일상에서 흔히 접하는 이자 계산을 통해서 입니다. 예를 들어, 은행에 가서 연이자율이 100%인 예금에 가입할 경우에 1년 후에 원금에 몇 배를 받을 수 있을까요?

먼저, 연이자의 경우를 생각해봅시다. 이 경우 1년 후에 받을 수 있는 금액은 원금의 2배가 됩니다. 즉, 원금이 1이라면 1년 후에는 2를 받게 됩니다.
$$ \left(1 + {1\over1}\right)^1 =2$$

이번에는 이자를 반기에 한 번씩 주는 경우를 생각해보겠습니다. 만약 반기마다 이자를 받는대신 원금의 50%씩 이자를 받으면 어떻게 될까요?

$$ \left(1 + {1\over2}\right)^2 = {9 \over 4}=2.25$$

1년 후에 받을 수 있는 금액은 $1.5 \times 1.5 = 2.25$가 됩니다. 즉, 이자를 더 자주 주면 받을 수 있는 금액이 더 많아집니다. 이제 이 과정을 반복한다면 어떻게 될까요?

$$\begin{align}
\left(1 + {1\over3}\right)^3= {64 \over 27} &= 2. \dot37\dot0\
\left(1 + {1\over4}\right)^4= {625 \over 256} &= 2.44140625\
&\vdots
\end{align}$$

이자를 무한히 많이 주는 경우, 즉 연속적으로 이자가 붙는 경우를 생각해보면 1년 후에 받을 수 있는 금액은 극한을 이용해 계산할 수 있습니다.

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1\over n}\right)^n = 2.71828\cdots = e $$

바로 이 값이 자연상수 $e=2.71828\cdots$입니다. 즉, 2배의 이자를 연속적으로 주는 경우에는 1년 후에 받을 수 있는 금액이죠. 신기한 것은 이 수가 발산하지 않고 어떤 값으로 수렴한다는 것입니다.

2. $e$의 수렴성

왜 이자는 발산하지 않고 어떤 값으로 수렴할까요? 사실 이 수렴성을 엄밀하게 증명하는 것은 고등학교 과정은 아닙니다. 기본적인 아이디어는 이렇습니다. 어떤 수열이 특정한 범위내에 있는데 계속 증가한다는 것을 알면 반드시 어떤 값으로 수렴하지 않을까요? 왜냐하면 계속 증가하는데 상단이 막혀있으면 점근선처럼 어떤 값에 한없이 가까워져야 할 것이니까요. 이를 단조수렴정리라고 합니다.

만약 수열 ${a_n}$이 단조 이고 유계면 ${a_n}$은 수렴한다.

1. 수열 ${a_n}$이 조건에 의해 상한을 가지므로, 어떤 실수 $M$이 존재하여 모든 $n$에 대해 $a_n \leq M$이 성립한다. 이 $M$을 수열 ${a_n}$의 극한이라고 가정하자.
2. 임의의 양수 $\epsilon > 0$에 대해, $M - \epsilon$보다 큰 수열 ${a_n}$의 항을 찾아야 한다. 왜냐하면 ${a_n}$이 단조 증가하기 때문에, 이 항 이후의 모든 항도 $M - \epsilon$보다 크기 때문이다.
3. 이제 $N$을 $a_N > M - \epsilon$을 만족하는 가장 작은 자연수라고 하자. 그러면 모든 $n \geq N$에 대해 $M - \epsilon < a_n \leq M$이 성립한다.
4. 따라서, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $N$을 찾을 수 있으므로, ${a_n}$은 $M$에 수렴한다.
5. 이와 같은 방식으로 단조 감소하고 하한을 가지는 수열이 수렴함을 보일 수 있다.

단조 수렴 정리를 사용하기 위해 우리가 증명하려는 수열을 $a_n = \left(1 + {1\over n}\right)^n$이라고 하겠습니다. $(1 + x)^n$은 이항 정리를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$ (1 + x)^n = 1 + nx + {n(n-1) \over 2!}x^2 + {n(n-1)(n-2) \over 3!}x^3 + \cdots $$

이때, $x$와 $n$이 모두 양수라면 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있습니다.

$$ (1 + x)^n \geq 1 + nx $$

이제 $x={1\over n}$을 대입하면 $a_n$ 은 $2$보다 크다는 것을 알 수 있습니다.

$$ a_n = \left(1 + {1\over n}\right)^n \geq 1 + n \cdot {1\over n} = 2 $$

같은 방법으로 $a_n$은 $3$보다 작다는 사실도 알 수 있습니다.

$$\begin{align}
\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n & =\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\
& = \binom{n}{0} \left(\frac{1}{n}\right)^0 + \binom{n}{1} \left(\frac{1}{n}\right)^1 + \binom{n}{2} \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \binom{n}{n} \left(\frac{1}{n}\right)^n \
& = 1 + \frac{n}{1} \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot \frac{1}{n^3} + \cdots + \frac{1}{n^n}\
& \le 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} \
& \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} \le 3\
\end{align}$$

따라서 $a_n$은 유계입니다.

$$ 2 \le a_n \le 3$$

다음으로 $a_n = \left(1 + {1 \over n}\right)^n$이 단조 증가 즉, $a_{n+1} \geq a_n$임을 보이겠습니다. $a_{n+1}$와 $a_n$의 전개식은 이항정리를 이용하면 다음과 같습니다.

$$\begin{align}
a_{n+1} &= \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} \left(1\right)^{n+1-k} \left(\frac{1}{n+1}\right)^k\
&= 1 + 1 + \frac{n}{2!\cdot (n+1)} + \frac{n(n-1)}{3!\cdot (n+1)^2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{4!\cdot (n+1)^3} + \cdots \quad(1)
\
\
a_n &= \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(1\right)^{n-k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\
&= 1 + 1 + \frac{(n-1)}{2!\cdot n} + \frac{(n-1)(n-2)}{3! \cdot n^2} + \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{4!\cdot n^3} + \cdots \quad(2)
\end{align}$$

전개한 식을 비교하면 (1)번식의 각 항이 (2)번식의 각 항보다 항상 크고, 양항도 한 개 더 생기므로 $a_{n+1}-a_n \ge 0$이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $a_n$은 유계이며 단조 증가하므로 단조수렴정리에 따라 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 수렴한다는 사실을 알았다면 수렴값을 찾아야할텐데요. 수렴값은 조금만 있다가 찾도록 하죠.

이름의 유래

여기서 잠깐 $e$는 영어로 natural logarithm's base 또는 Euler's number라고 불립니다. 한국어로 번역하면 자연로그의 밑 또는 오일러 수 정도로 해석할 수 있죠. 그런데 왜 흔히 $e$를 자연상수라고 부르는 것일까요? 세균의 성장이나 인구의 증가와 같은 자연 현상에서는 복리와 유사한 성장 패턴을 볼 수 있습니다. 따라서 이러한 자연적인 성장 패턴을 나타내는 상수로서 $e$를 자연상수라고 부르게 된 것입니다. 그렇다고 영어로 그대로 natural constant라고 직역하면 안됩니다. 왜냐하면 natural constant 자연에 있는 다양한 상수들을 통칭하는 용도로 사용되기 때문이죠. 영어로 한다면 처음 보았듯이 자연로그의 밑이나 오일러 수라고 해야 서로 의미가 통합니다. 다른 의미로 $e$를 자연상수라고 부르는데는 자연로그와 연관이 깊은 것도 요인이 아닐까 생각합니다. 그런데 자연로그는 도대체 뭘까요?

로그 함수의 역함수

미분과 적분은 미적분으로 같이 다니듯, 지수와 로그도 항상 같이 따라다니는 개념입니다. 그래서 로그 함수와 지수 함수가 서로 역함수 관계에 있다는 것은 너무나 잘 알고 계실 것입니다. 즉, 한 함수를 통해 얻은 결과를 다시 원래의 값으로 돌리는 역할을 하죠. 이 관계를 이해하는 것은 $e^x$를 이해하는 데 중요한 열쇠가 됩니다. 일반적으로 해석학책에서는 로그 함수 $\ln x$를 우선 정의하고 $\exp(x)$를 로그함수의 역함수로 정의합니다. 왜 그럴까요?

로그 함수 $\ln x$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \ln x = \int_1^x {1 \over t} dt $$

로그 함수 $\ln x$의 정의를 살펴보면, $\ln x = \int_1^x {1 \over t} dt$입니다. 이 식은 1부터 기하학적으로 $t=1$부터 $t=x$까지 함수 $f(t)={1 \over t}$ 아래의 면적을 구하는 것을 의미합니다. 이 면적은 $t$가 1에서 $x$로 변화할 때, $1 \over t$이 얼마나 누적되는지를 측정하는 거죠. $1 \over t$는 $t$가 1만큼 증가할 때마다 자기자신을 얼마나 많이 곱해야 하는지를 나타내는 비율입니다.

$$t+1=t\left(1+{1\over t}\right)$$

따라서 직관적으로 본다면 이 적분식은 $(1+ {1 \over t}$)만큼을 계속 반복하여 곱하는 과정을 얼마나 했는지를 의미하죠. 수식으로 보겠습니다.

어떤 함수 $f$가 다음과 같은 성질을 만족한다고 해보겠습니다.

1. $f(xy)=f(x)+f(y)$
2. $f(x^a)=af(x)$
3. $f(1)=0$

$f$의 성질을 보면 누가 봐도 로그함수이지만 일단 모르쇠하겠습니다.

1. $\log(xy)=\log(x)+\log(y)$
2. $\log(x^a)=a\log(x)$
3. $\log (1)=0$

이러한 성질을 만족하는 함수를 찾기 위해 첫 번째 성질을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다

$$yf'(xy)=f'(x)$$

여기서 $x=1$을 대입하면

$$f'(y) = {f'(1) \over y}$$

을 만족합니다. 이 관계식으로부터 우리는 미적분학의 기본정리에 따라

$$ f(x) - f(c) = \int_c^x f'(t)dt = f'(1) \int_c^x \frac{1}{t} dt $$

라고할 수 있습니다. 세번째 성질에 의해 $f(1)=0$이므로, $c=1$을 대입하면

$$ f(x) = f'(1) \int_1^x \frac{1}{t} dt $$

라 할 수 있습니다. 이때, 밑이 $e$인 자연로그는 위의 성질과 $f'(1)=1$을 만족하는 유일한 함수이므로

$$ \ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt $$

라 할 수 있습니다. 그런데 밑이 $e$인 자연로그는 위의 성질을 만족하면서 왜 $f'(1)=1$을 만족할까요?

로그의 치명적 한계

로그함수를 비율을 나타내는 수로 매우 크거나 작은 수를 근사치로 빠르게 계산하기 위해 만들어졌습니다. 그런데 로그함수는 태생적으로 같은 차이를 가지는 두 수의 로그 값이 그 차이가 클 수록 더 크게 나타난다는 치명적인 한계가 있습니다. 예를 들어, 두 수 $2$와 $3$의 차이는 $1$입니다. 이 두 수의 상용로그 값의 차를 계산해보면,

$$\log_{10}3 - \log_{10}2 = \log_{10}\left(\frac{3}{2}\right) \approx 0.176$$

입니다. 이제 두 수 8과 9의 차이를 살펴보겠습니다. 8과 9의 차이도 1이지만 이 두 수의 로그 값을 계산해보면,

$$\log_{10}9 - \log_{10}8 = \log_{10}\left(\frac{9}{8}\right) \approx 0.051$$

입니다. 같은 차이를 가지는 두 수의 로그 값의 차이를 비교해보면, 후자가 훨씬 작은 값을 가집니다. 이는 별거 아닌거 같지만 큰 문제를 발생시킵니다. 로그는 수를 로그로 변환하고 역산하는 과정을 반복해 근사치를 구합니다. 따라서 $1,2,3$에서는 간격이 넓기에 소수점 아래 세네자리 까지 이용해 계산해도 근사치를 매우 정밀하게 계산해낼 수 있는 반면 $7,8,9$에서는 간격이 좁기에 소수점 아래 많은 수까지 계산해도 근사치가 부정확해진다는 단점이 생기게 되는거죠.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & \log_{10}x \
\hline
1 & 0 \
\hline
2 & 0.301\cdots \
\hline
3 & 0.477\cdots \
\hline
4 & 0.602\cdots \
\hline
5 & 0.699\cdots \
\hline
6 & 0.778\cdots \
\hline
7 & 0.845\cdots \
\hline
8 & 0.903\cdots \
\hline
9 & 0.954\cdots \
\hline
\end{array}$$

비율을 일정하게 유지하기 위해

로그를 연구하는 사람들은 이러한 단점을 너무나 잘 알고 있었습니다. 그렇기에 로그함수가 $x$의 값이 증가함에 따라 $y$의 값도 일정하게 증가하며 모든 점에서 근사치가 정확하게 계산되기를 바랐죠. 그렇다면 어떻게 $x$의 값이 증가함에 따라 $y$의 값도 일정하게 그 비율을 유지할 수 있을까요? 사실 어렵지 않습니다. 로그를 이용해 일차함수 $y=x$를 만들면 되는거죠. $y=x$는 $x$값에 따라 $y$의 값이 정확히 같은 값을 가지니까요. 그럼 이제 다음 질문은 간단해집니다. 로그함수를 어떻게하면 일차함수로 만들 수 있을까요? 로그함수의 개형은 밑에 따라서 달라집니다. $x$에 스칼라배하거나 덧셈을 하는 것은 평행이동일 뿐이죠.

$$\begin{align}
y&=\log ax= \log x + \log a\
y&=\log (x+a)
\end{align}$$

그렇다면 로그의 밑을 어떻게 조정해야 일차함수가 될까요? 우선 로그함수 $y=\log_a x$ 는 $(1,0)$을 정점으로 가지며 $x=0$을 점근선으로 갖습니다. 반면에 $y=x$는 $(0,0)$을 지나죠. 그러므로 먼저 $x$ 대신 $x+1$을 대입하여 원점을 지날 수 있도록 평행이동 합니다.

$$y=\log_a (1+x)$$

다음으로 일차함수를 만들기 위해 로그를 없애기 위해서는 밑을 없애야하므로 $a$에 진수와 같은 $(x+1)$을 이용해 표현해보겠습니다.

$$y=\log_{(1+x)} (1+x)=1$$

만약 밑이 $(1+x)$라면 $y=1$이 됩니다. 우리가 만들어야할 것은 $y=x$이므로 양변에 $x$를 곱해 정리하면

$$y=x \times \log_{(1+x)} (1+x)=x$$

$$y=\log_{(1+x)^{1\over x}} (1+x)=x$$

밑이 $(1+x)^{1 \over x}$일 때 $y=x$가 성립함을 알 수 있습니다. 여기서 구한 밑 $(1+x)^{1 \over x}$가 익숙하실 것입니다. 바로 자연상수 $e$를 만드는 공식의 일부이죠. 우리가 흔히 자연로그 라고 부르는 밑이 $e$인 로그는 탄생부터가 $y=x$와 같아지게 만들어진 함수입니다. 따라서 이 공식은 외우는 것이 아니라 당연히 분모와 분자가 같은 식이라고 생각하셔야합니다.

$$\lim_{x \rightarrow 0}{\ln(1+x) \over x}=1$$

이 극한으로부터 로그함수 $\ln(1+x)$의 $x=0$에서의 기울기가 $1$이라는 사실도 자명하게 알 수 있습니다. 따라서 앞서 본 자연로그의 정의로 이어지면서 유리함수의 적분으로 로그함수를 깔끔하게 정의해낼 수 있습니다.

미분 방정식 $f'=f$

변화량이 다시 자기 자신과 같아지는 함수는 어떤게 있을까요? 이러한 함수는 자기 자신을 미분값으로 가지므로 간단하게

$$f'=f$$

라 나타낼 수 있습니다. $f \not\equiv 0$이라면 미분 방정식을 풀기 위해
양변을 $f$로 나누고

$$ {f' \over f} = 1 $$

적분하면

$$\begin{align}
\frac{f'}{f} &= 1\
& \Rightarrow \int \frac{f'}{f} dt = \int dt \
& \Rightarrow \ln \vert f \vert = t + C \
& \Rightarrow \vert f \vert= e^{t+C} = e^C e^t \
& \Rightarrow \vert f \vert = A e^t \Rightarrow f(t) = \pm A e^t
\end{align}$$

좌변은 로그의 정의에 따라 $\ln \vert f \vert$가 되고, 우변은 $t$가 됩니다. 식을 정리하기 위해 양변에 지수 함수를 취하면 앞서 보았듯이 지수와 로그는 역연산이므로 $f$는 지수함수라는 결과를 얻을 수 있습니다. 그렇게 미분을 통해서 지수함수를 찾는 방법은 사실 한가지 더 있습니다. 바로 테일러 전개식을 이용하는거죠.

5-1. 테일러 전개식을 통한 $e^x$의 정의

테일러 전개는 쉽게말해 다항함수꼴의 무한급수를 이용해 함수를 나타내는 방법을 말합니다. $f'=f$를 만족하는 함수는 다항함수꼴로 어떻게 표현할 수 있을까요?

함수 $f(x)$의 $a=0$에서의 테일러 전개식은 다음과 같습니다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(0) \over n!} x^n
= f(0) + f'(0)x + {f''(0) \over 2!}x^2 + {f^{(3)}(0) \over 3!}x^3 + {f^{(4)}(0) \over 4!}x^4 + \cdots $$

이제 양변을 미분하고 식을 비교해보겠습니다.

$$ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} {f^{(n)}(0)\over (n-1)!} x^{n-1} = f'(0) + {f''(0)}x + {f^{(3)}(0) \over 2!}x^2 + {f^{(4)}(0) \over 3!}x^3 + {f^{(5)}(0) \over 4!}x^4 +\cdots $$

$f'=f$라 했으므로 계수를 비교하면

$$ f(0)=f'(0)=f''(0)= \cdots =f^{(n)}(0) $$

을 만족하므로 식을 바꿔 다시 쓰고 $f(0)$을 공통으로 묶어서 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ f(x) = f(0) \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!}= f(0) + {f(0)}x + {f(0) \over 2!}x^2 + {f(0) \over 3!}x^3 + {f(0) \over 4!}x^4 +\cdots $$

우리는 이전에 $f=f'$을 만족하는 함수는 지수함수라는 것을 알고 있고, $f(0) = 1$이라면 $e^x$ 테일러 전개는 다음과 같습니다.

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots $$

이 테일러 급수가 갖는 의미는 어떤 것이 있을까요?

무리수 $e$ (테일러 급수의 의의 1)

테일러 급수식이 갖는 첫번째 의미는 이 식에 $x=1$을 대입하면, 자연상수 $e$를 얻을 수 있다는 것입니다.

$$ e = 1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots $$

이 무한급수의 각 항이 ${1 \over n!}$만큼 빠르게 작아지므로, $n$이 작아도 $e$의 근사값을 빠르게 얻을 수 있다는 장점이 있습니다.

n	테일러 전개 결과	수열식 결과
1	$\sum_{k=0}^{1} {1 \over k!} = 2$	$(1 + {1 \over 1})^1 = 2$
2	$\sum_{k=0}^{2} {1 \over k!} = 2.5$	$(1 + {1 \over 2})^2 = 2.25$
3	$\sum_{k=0}^{3} {1 \over k!} = 2.6666\cdots$	$(1 + {1 \over 3})^3 = 2.3703\cdots$
4	$\sum_{k=0}^{4} {1 \over k!} = 2.7083\cdots$	$(1 + {1 \over 4})^4 = 2.4414\cdots$
5	$\sum_{k=0}^{5} {1 \over k!} = 2.7166\cdots$	$(1 + {1 \over 5})^5 = 2.4883\cdots$
6	$\sum_{k=0}^{6} {1 \over k!} = 2.7180\cdots$	$(1 + {1 \over 6})^6 = 2.5216\cdots$
7	$\sum_{k=0}^{7} {1 \over k!} = 2.7182\cdots$	$(1 + {1 \over 7})^7 = 2.5465\cdots$
8	$\sum_{k=0}^{8} {1 \over k!} = 2.7182\cdots$	$(1 + {1 \over 8})^8 = 2.5657\cdots$
9	$\sum_{k=0}^{9} {1 \over k!} = 2.7182\cdots$	$(1 + {1 \over 9})^9 = 2.5815\cdots$
10	$\sum_{k=0}^{10} {1 \over k!} = 2.7182\cdots$	$(1 + {1 \over 10})^{10} = 2.5937\cdots$

물론 $n$이 커지면 더해야할 값들이 많아지므로 수열식을 이용하는게 더 효과적일 수 있지만요. 그렇다면 아직 해결하지 않은 질문이 한 가지 남았습니다. $e$는 무리수일까요? $X_n$을 테일러 전개식의 부분합이라고 해보겠습니다.

$$X_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{1\over k!}$$

그렇다면 $e$에서 부분합을 뺀 부분은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$ e-X_{n}=\sum _{{k=n+1}}^{\infty }{ 1\over k!} = {1 \over (n+1)!}+{1 \over (n+2)!}+ {1 \over (n+3)!} +\cdots $$

여기서 ${1 \over (n+1)!}$로 식을 묶어주면

$$ e-X_{n}= {1 \over (n+1)!} \left({1} + {1 \over (n+2)} + {1 \over (n+2)(n+3)}+ \cdots \right) $$

$n$과 $k$가 충분히 클 때 $(n+1)<(n+k)$이므로 다음과 같은 부등식이 성립합니다.

$$e-X_{n} <{1 \over (n+1)!}\cdot \left(1+{1 \over n+1}+{1 \over (n+1)^{2}}+ {1 \over (n+1)^{3}}+\cdots \right)$$

이 때 $(n+1)$의 거듭제곱식의 역수의 합은 등비급수로 정리해줄 수 있습니다.

$$e-X_{n} < {1 \over n(n)!} $$

이제 $e$ 를 유리수라 가정하면 양의 정수 $p$, $q$에 대하여 $e= {p \over q}$가 되어야하므로 $n=q$라 하면 식을 다음과 같이 적을 수 있습니다.

$$0 < e-X_{q} < {1 \over q(q)!} $$

이제 양변에 $q!$을 곱한식을 $*$라 하겠습니다.

$$0 < q!(e-X_{q}) < {1 \over q} \quad \cdots *$$

$e= {p \over q}$라 가정했으므로 $*$는 다음과 같이 적을 수 있습니다.

$$0 < p(q-1)! - q! X_{q} < {1 \over q} $$

그런데 이 식에서 보면 $q!e$와 $q!X_q$은 모두 양의 정수 이므로 $q!(e-X_{q})$ 또한 양의 정수여야 합니다. 그런데 $*$에서 $q!(e-X_{q})$은 $0$보다 크고 ${1 \over q}$보다 작다고 했으므로 모순이 생깁니다. 따라서 $e$는 유리수가 아니므로 무리수입니다.

오일러 공식 (테일러 급수의 의의 2)

지수함수 $\exp(x)$의 테일러 전개식이 갖는 의의가 단지 자연상수 $e$를 찾는 것만 있지 않습니다. 앞서 보았듯 $f=f'$을 만족하는 $f$는 지수함수입니다. 그런데 이 식을 변형하여 $f=f''$을 만족하는 함수는 무엇일까요? 당연하게 양변을 한 번 더 미분하면 $f'=f''$이므로 다시 지수함수가 됩니다.

$$ f=f'=f'' \Leftrightarrow f=Ae^x $$

그렇다면 $f=-f''$을 만족한다면 어떨까요? 먼저, 함수 $f(x)$의 $a=0$에서의 테일러 전개식은 앞서 본 것과 같이 다음과 같습니다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {f^{(n)}(0) \over n!} x^n
= f(0) + f'(0)x + {f''(0) \over 2!}x^2 + {f^{(3)}(0) \over 3!}x^3 + {f^{(4)}(0) \over 4!}x^4 + \cdots $$

이제 양변을 두 번 미분하고,

$$ f''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} {f^{(n)}(0)\over (n-2)!} x^{n-2} = f''(0) + {f^{(3)}(0)}x + {f^{(4)}(0) \over 2!}x^2 + {f^{(5)}(0) \over 3!}x^3 + {f^{(6)}(0) \over 4!}x^4 +\cdots $$

$f'' = -f$라 했으므로 계수를 비교하면

$$ f(0)=f''(0), f'(0)=-f^{(3)}(0), {f''(0) \over 2!}=-{f^{(4)}(0) \over 2!}, {f^{(3)}(0) \over 3!}=-{f^{(5)}(0) \over 3!}, \cdots $$

을 만족합니다. 식을 보면 두 번 미분 했기에 짝수번 미분 한 것끼리 서로 연관이 있고, 홀수 번 미분 한 것끼리 서로 연관이 있는 것 처럼 보이죠. 그러므로 식을 $f(0)$과 $f'(0)$을 공통으로 묶어서 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ f(x) = f(0) \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} + f'(0) \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} $$

이 식은 $e^x$의 테일러 전개와 비슷한 점이 많습니다.
$$ f(x)=e^x = f(0) \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!}x^n$$

식에 공통된 값 예를들어 $f(0)$과 같은 값이 있어 식을 묶어서 정리할 수 있고, 이렇게 묶으면 분자가 매우 간단해지죠. 물론 차이점도 명확합니다. $f=-f''$를 만족하는 테일러 급수의 경우 홀수차수, 짝수차수가 다른 값에 영향을 받고, 분자가 $-1$의 거듭제곱 꼴이라는 것이죠.

여기서 잠깐만 이렇게 생각해보겠습니다. 테일러 급수는 함수를 다항함수꼴을 이용해 표현한 것이라 했습니다. 그렇다면 다항함수가 만약 짝수차수로만 이루어져 있다면 뭐라고 부르나요? 반대로 홀수차수로만 이루어져 있다면 뭐라고 할까요? 맞습니다. 바로 우함수와 기함수입니다. $y$축 대칭, 원점 대칭이죠. 이 식은 그래서 $\exp(x)$의 우함수 부분과 기함수부분을 적절히 합쳐놓은 것과 같은 모양을 하고 있습니다. 그래서 적당한 값을 $f(0)$과 $f'(0)$에 대입해 이 두 부분을 분리해보겠습니다.

우선 우함수 부분만 보기 위해 $f(0) = 1, f'(0) = 0$을 대입해 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + \cdots $$

같은 방법으로 기함수 부분만 보기 위해 $f(0) = 0, f'(0) = 1$을 대입해 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + \cdots $$

이렇게 식을 정리해 보면 $\exp(x)$의 우함수와 기함수 부분과 정확히 일치할까요? 안타깝게도 성립하지 않습니다.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!} \not= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} $$

$$ 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots \not= 1+x- {x^2 \over 2!}- {x^3 \over 3!}+ {x^4 \over 4!}+ {x^5 \over 5!}- \cdots $$

왜냐하면 부호차이가 있기 때문이죠. $\exp(x)$는 항상 양수인데 반해 $f=-f''$을 만족하는 함수의 경우 양변을 다시 두 번 미분해 총 네 번 미분해야 $f=f^{(4)}$ 원래 함수의 부호와 같아집니다. 그렇다면 어떻게 해야 두 식이 같아질 수 있을까요? 중간에 부호가 바뀌지만 네 번 마다 다시 양수가 되는 수는 무엇일까요? 바로 허수 $i$입니다. 따라서 양변에 $i$를 적절히 이용하여 짝수와 홀수가 번갈아 부호가 바뀌게 설정하면 이 식은 같아집니다.

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} + i\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{(ix)^n \over n!} = 1 + ix - {x^2 \over 2} - {ix^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} \cdots $$

$$ \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} + i\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} = \left( 1 - {x^2 \over 2} + {x^4 \over 4!} - \cdots \right) + \left( ix - {ix^3 \over 3!} + {ix^5 \over 5!} - \cdots \right) $$

아마 눈치 빠르신분들은 지금 이 식이 의미하는 바를 이미 아시고 계실 것입니다. $f =-f''$ 를 만족하는 함수는 뭘까요? $\sin(x)$의 도함수는 $\cos(x)$이고, 다시 한 번 미분한 이계도함수는 $-\sin(x)$입니다. 반대로 $\cos(x)$의 도함수는 $-\sin(x)$이고, 이계도함수는 $-\cos(x)$입니다.

$$\begin{align}
\sin'(x) &=\cos(x)\
\cos'(x) &=-\sin(x)\
\
\sin ''(x) &= -\sin(x)\
\cos''(x) &= -\cos(x)\
\
\sin^{(4)}(x) &= \sin(x)\
\cos^{(4)}(x) &= \cos(x)
\end{align}$$

삼각함수 $\sin(x)$과 $\cos(x)$ 모두 $f=-f''(x)$를 만족하죠.

$$ f(x)= -f''(x) \Leftrightarrow f(x)=c_2 \sin x+c_1 \cos x $$

그리고 $\sin(x)$는 $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$입니다. 홀수 차수로만 이루어져 있던 식이 사실 $\sin(x)$의 테일러 전개식이었던 거죠.

$$ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1} = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + \cdots $$

같은 방법으로 $\cos(x)$는 $f(0) = 1$, $f'(0) = 0$이고, 짝수 차수로만 이루어져 있던 식은 $\cos(x)$의 테일러 전개식입니다.

$$\cos (x) = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + \cdots$$

결과적으로 이 복잡한 식을 간단하게 표현하면

$$\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} {(ix)^n \over n!} &= \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n)!} x^{2n} + i\sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n \over (2n+1)!} x^{2n+1}\
e^{ix} &= \cos(x)+i\sin(x)
\end{align}$$

흔히 오일러 공식이라 불리는 식이 성립하게 됩니다. 오일러 공식을 단순히 세상에서 가장 아름다운 공식을 유도하는 식 정도로만 알고계신분 들이 계실 것입니다.

$$\begin{align}
& e^{i \pi} = \cos(\pi)+i\sin(\pi) = -1\
& \Rightarrow e^{i \pi}+1=0 \
\end{align}$$

하지만 오일러 공식없이는 복소해석학을 단 한발자국도 나갈 수 없을 만큼, 하나의 새로운 학문을 연 공식입니다.

오일러 공식을 사용하면 복소수를 지수 형태로 표현할 수 있습니다. 복소수를 기하학적으로 해석해 복소평면에서의 복소수의 위치와 쉽게 파악할 수 있고,

$$ r e^{i\theta} = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$$

복소수의 지수 함수와 삼각 함수 사이의 관계를 통해 복소 함수의 다양한 성질을 파악할 수 있습니다.

De Moivre's Theorem
$$ \begin{align} (r e^{i\theta})^n &= r^n e^{in\theta} \ &=
(r (\cos(\theta) + i\sin(\theta)))^n \&= r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \end{align}$$

이는 복소수의 연산을 간소화하고 실해석학에서는 찾기 어려운 값들을 쉽게 찾아내며 수학의 큰 발전을 이끌게 되죠.

Residue Theorem
$$ \int_C f(z) dz = 2\pi i \times \sum \text{Res}[f(z), c_i] $$

초월수 $e$

초월수란 무리수 중에서도 어떤 정수 계수의 다항식의 근이 될 수 없는 수를 의미합니다. 즉, $e$가 초월수라는 것은 $e$를 근으로 하는 정수 계수의 다항식이 존재하지 않는다는 것이죠. 따라서 $e$가 대수적 수라고 즉, $e$가 어떤 정수 계수의 다항식의 근이라고 가정한 후 모순을 찾아내는 방식으로 초월수임을 보입니다. 증명 방법이 매우 복잡하므로 에르미트의 증명을 약식으로 소개하고 자세한 내용은 블로그에 관련 내용을 첨부하겠습니다. (Hermite, 1873).

다항식 $f(x)$에 대하여, $F(x)$를 다음과 같이 정의해보겠습니다.

$$ F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} f^{(i)}(x) $$

이 식에 부분적분을 여러 번 적용하면, 다음과 같은 Hermite identity 을 얻을 수 있습니다.

$$ e^x \int_0^x f(t)e^{-t}dt = F(0)e^x - F(x) $$

이제 $e$가 대수적이라 가정하기 위해 $e$를 근으로 갖는 최소차수 다항식을 설정해보겠습니다. 여기서 $n$은 $e$에 대한 허구적인 최소 다항식의 차수이며, $p$는 충분히 큰 소수입니다.

$$ f(x) = \frac{x^{p-1}(x-1)^p \cdots (x-n)^p}{(p-1)!} $$

그렇다면 우리는 $0 \leq k \leq n$에 대하여 다음과 같이 추정할 수 있습니다.

$$ \begin{align} \vert e^kF(0) - F(k) \vert &= \lvert e^x \int_0^x f(t)e^{-t}dt \rvert \ &\leq ne^n \sup_{t \in [0,n]} {f(t)} \ &= \frac{np^{n-1}(np)^n}{(p-1)!} \end{align}$$

$n$ 고정되어 있을 때 $p$가 커져감에 따라 이 식이 0으로 수렴합니다. 만약 $e$가 대수적이라면, $p>n$때와 $1 \le k \le n$인 경우로 나누어, $\sum_{k=1}^n F(0)e^k - F(k)$가 0과 1 사이의 정수임을 보여줌으로써 모순이 발생하고 따라서 $e$는 초월수임을 보일 수 있습니다.

$e$가 초월수임을 보이는 세부과정은 몇가지 명제와 세부과정을 더 증명하는 과정이 필요해 자세한 과정은 블로그에 올려두도록 하겠습니다.

e is transcendental

에필로그

이렇게 $e$가 갖는 성질과 연관된 내용에 대해 정리해보았습니다. 사실 $e$를 정의하는 여러가지 방법들을 극적으로 연결하기 위해 테일러 급수와 미분방정식, 초월수 증명 과정에서 생략한 부분이 있습니다. 이 내용을 보시고 추가적으로 공부하고 싶으신 분들은 꼭 전공 서적의 증명과정을 따라가시면서 제가 생략한 부분을 찾아보시면서 엄밀하게 남은 과정도 공부해보시길 추천드립니다. 모든 내용을 퍼즐 맞추듯 맞추고 왠지 모를 뿌듯함을 느껴보시길 바라겠습니다.