원주율 π의 무리수 증명! 제일 쉬운ver. (feat. 연분수)

모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수 다음과 같이 정확히 두가지 유한 연분수로 나타내어진다. 모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다.

 

우리는 원주율을 초등학교떄 처음 3.14라고 배우게된다.

그후 중학교에 올라오면 파이는 순환하지않는 무한소수 즉 무리수라고 알려준다.

파이가 정말 무리수가 맞는지 보여주기 위하여 먼저 연분수를 알아보고

그 성질을 이용하여 파이가 무리수임을 보이도록 하겠다.

 

연분수란 다음과 같이 계속 나아가는 분수를 말한다.

쉽게생각해서 연속해서 나가는 분수이다.

예를들어 3분의 5가 있으면 다음과 같이 분수를 연속해서 써 내려갈 수 있다.

이처럼 유리수들은 연분수로 나타내면

딱 떨어지게 유한연분수로 나타낼 수 있다.

 

조금 확장시켜 생각해보자.

굳이 분자 부분이 꼭 1로 통일 시켜야할 필요가 있을까?

분자가 1이 아닌 유리수더라도 유리수들은 유한하게 연분수로 나타낼 수 있다.

이를 정리하면 유리수와 유한연분수는 필요충분조건인 것을 알 수 있다.

그리고 대우에 의해 무리수는 딱떨어지게 나타낼 수 없다는 것을 유도할 수 있다.

따라서 무리수는 무한 연분수를 가진다.

 

예를들어 다음과 같이 2가 반복되는 연분수를 생각해보자.

식을 자세히 보면 빨간색으로 색칠한 부분과

파란색으로 색칠한 부분의 식이 같은 것이 보일 것이다.

이제 그 식을 x라고 두자.

그렇다면 위 식은 서로 다른 두 식으로 나타낼 수 있고 그 값은 같다.

이를 정리하면 근의 공식에 의해 x=루트2-1이고

따라서 연분수의 값은 루트2가 나온다.

이처럼 무리수는 무한 연분수를 가진다는 것을 알 수 있다.

 

이제 파이가 무리수임을 밝혀보자.

다음 식은 1761년 요한 람베르트가 탄젠트 함수를

연분수로 나타낸 것이다.

저 식에 4분의 파이를 대입해보자.

그렇다면 탄젠트 4분의 파이는 1인데 무한히 나아가는 것을 알 수 있다.

그런데 여기서 이상한 점이 있다.

1은 유리수 이므로 유한 연분수를 가져야하는데

무한 연분수를 갖는 것이다.

이는 4분의 파이가 유리수가 아니었기때문에 모순이 생기는 것이다.

따라서 4분의 파이는 무리수이고 자명하게 파이도 무리수가 된다.

 

이처럼 파이가 무리수임을 증명해보았다.

그런데 사실 이 증명에서 당연하게 썼던

탄젠트 함수의 연분수식을 찾는 과정이 너무 어려워서

엄밀하게 증명하기 위해서는

이 방법보다 미분방정식을 이용한 에르미트의 증명을 더 많이 사용한다.

 

추가적으로 연분수를 왜 사용하는지 잠깐만 알아보도록하자.

연분수는 6차 교육과정까지는 교육과정에 있었던 내용인데

현재는 배우지 않고 문제집에서 살짝씩 다루고 있다.

다른 많은 응용방법이 있지만 무리수의 근사적 측면에서 본다면

다음과 같이 파이를 연분수 식으로 변환한 식에서 딱 3자리만 뽑아와서

계산하면 소수점 7자리까지 파이와 같은 값을 가짐을 알 수 있다.

이처럼 연분수는 무리수의 근삿값을 찾을 떄 도움을 주며

여러분들도 몇 몇 무리수 값들의 근삿값을 찾을 수 있다.

 

오늘 수업은 여기까지