수학자 - 레온하르트 오일러

인류 역사상 가장 위대한 수학자는 누구일까요? 사람들마다 생각하는 최고의 수학자는 다르겠지만 제 원픽은 레온하르트 오일러입니다. 

 

레온하르트 오일러는 1707년 스위스 바젤에서 태어난 수학자입니다. 목사였던 아버지는 당대 최고의 수학자였던 요한 베르누이와 친분이 있었습니다. 미적분 영상에서 바젤에서 시작한 편지가 딱 이맘때 쯤 이었습니다. 13세에 바젤 대학교에 입학허가를 받았고, 1723년 16세의 나이에 르네 데카르트와 아이작 뉴턴의 철학을 비교한 논문으로 석사 학위를 받았습니다. 다시 말하지만 수학논문이 아니라 철학논문으로 입니다. 오일러는자신의 수학적 재능을 알아본 요한 베르누이로부터 토요일 오후마다 개인 교습을 받았습니다. 오일러의 아버지는 오일러가 목사가 되기를 바랐지만 베르누이가 오일러는 위대한 수학자가 될 운명을 타고 태어난 사람이라며, 아버지를 설득하고 결국엔 수학자의길로 들어섭니다.

 

오일러의 일대기는 하나하나가 수학과 연결됩니다. 오일러가 독일의 쾨니히스베르크의 거리를 걷고 있는데, 사람들이 모여서 프레겔 강에는 7개의 다리가 있는데, 이 다리들을 꼭 한 번씩 차례로 건널 수 있느냐를 두고 논쟁을 벌이고 있었습니다. 사람들이 오일러에게 도움을 요청하자, 이 다리들을 한 번씩 차례대로 건넌다는 것은 불가능하답니다고 말한 후, 불가능한 이유에 대해서 자세히 증명했습니다. 이것은 오늘 날에는 "한 붓 그리기"와 같은 문제입니다. 한 번 문제를 풀어보겠습니다. 다음 그림은 쾨니히스베르크 다리를 그래프로 표현한 것이다. 이 도형을 한붓그리기 할 수 있을까요? 한붓그리기 가능한 도형은 모든 꼭지점이 짝수점이거나 단 두 개의 꼭지점만 홀수점인 경우에만가능합니다. 만약 홀수점이 이보다 더 많다면 한붓그리기가 불가능 합니다. 저 그림을 보면 각 점에 연결된 선의 개수가 다음과 같으므로 홀수점이 4개입니다. 따라서 저 그림은4/2=2 즉, 2번만에 그릴 수 있습니다. 이를 응용해보면 다음 그림은 몇 번만에 그릴 수 있을까요? 이 그림은 제가 중 1때 과학선생님이 5번 만에 그리면 10만원 준다해서 용돈벌이하려고 한달 내내 풀어봤던 문제인데 나중에 안 사실이지만 오일러의 한붓그리기 정리에 의해 6번만에 그려지는 그림이었습니다. (개XX)

 

오일러는 이처럼 현실에 존재하는 것들을 연결성이나 연속성 등, 작은 변환에 의존하지 않는 기하학적 성질들만 빼내서 연구를 많이 했습니다. 위상수학의 창시자급이죠. 여기정사면체가 있습니다. 정사면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 각각 얼마인가요? 꼭지점은 4개, 모서리는 6개, 면의 개수는 4개입니다. 이 때 v(꼭지점)-e(변)+f(면)을 계산하면 얼마인가요? 4-6+4=2입니다. 다음에 정육면체를 보면 꼭지점은 6개, 모서리는 12개, 면의 개수는 6개이므로 v-e+f=6-12+6이므로 또 2다. 여러분들이 고등학교때 다루는 임의의 3차원도형들은 다 v-e+f=2입니다. 즉 풍선을 쪼물딱 거려서 만들 수 있는 3차원 도형, 우리가 흔히 보는 정오각형 12개의 정육각형 20개로 이루어진 32면체인 축구공도 v-e+f=2입니다.

 

그렇다면 2가 나오지 않는 것 들도 있을까요? v-e+f=x에서 x를 오일러 지표, 오일러 케릭터리스틱이라하는데 평면도형인 경우에는 오일러 지표는 2가 아닌 1이 됩니다. 심지어 안이 뚫려있는 원의 경우는 0입니다. 이처럼 각 물체들이 나타내는 숫자들이 다릅니다. 이를 이용하면 토러스(도넛츠)의 오일러지표는 0, 공의 오일러지표는 2이므로 공와 도넛츠는 근본자체가 다르다는 것도 알 수 있습니다. 이걸 보고 밀레니엄문제 중 푸앵카레의 정리가 생각나실 것입니다. 푸앵카레의 정리는 간단하게 말하면 공과 도넛츠를 끈으로 구별할 수 있는가? 라는 질문이었지만 사실 펜과 종이만 있다면 이 둘을 구별하는 것은 오일러가 1752년에 이미 해낸 일이죠. 구와 위상동형인 3차원의 도형은 반드시 오일러 지표가 2로 나온다는 것은 정말 특이한 방법으로 증명합니다. 

 

 

오일러가 시초가 되는 학문은 여기서 끝나지 않습니다. 예전 영상에서 코시가 복소해석학의 창시자였다는 이야기를했었습니다. 하지만 오일러가 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타내는 오일러 공식 e^(ix)=cosx+isinx을 정의하지 않았다면 복소평면 자체를 그릴수가 없어서 복소해석학은 시작될 수도 없었습니다. 오일러 공식은 1714년 로저 코츠가다음과 같은 형태로 처음 발견했습니다. Ln(cosx_isinx)=ix, 지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 유명해집니다.  이 식은 세상에서 가장 아름다운 공식으로 알려져 있으며 관련된 내용은 예전 영상을 참고하시기 바랍니다.

 

앞에 업적들도 수학적으로 매우 중요하지만 가장 큰 업적을 하나 뽑으라 한다면 우리가 쓰는 기호를 정립했다는 것입니다. 함수 function의 앞글자를 따와서 만든 f(x), 지수Exponential의 앞글자를 따와서 만든 자연상수 e, 허수 imaginary의 앞글자를 따와서 만든 I, 합 Summation의 앞글자를 그리스어로 바꿔서 만든 시그마, 삼각형의 변을 나타내는 알파벳 소문자 a, b ,c라든지 이것들에 대응하는 각을 나타내는 대문자 A, B, C를 비롯하여 삼각형의 내접원과 외접원의 반지름, 그리고 삼각형의 둘레 길이의 2분의 1 등을 각각 r, R, s로 나타내는 것 또한 다 오일러가 만든 것입니다.

 

이게 무슨 업적이냐 할 수도 있겠지만 수학에서 기호가 없다면 이 식을(1+1=2) 하나에 하나를 더하면 둘이 된다라고 써야합니다. 실제로 500년 전까지만 해도 수학기호를 이용해함축적으로 표현하는 수학보다 말로 풀어내는 수사적 수학이 당연한 것이었습니다. 고대 그리스의 수학자인 유클리드의 《원론》은 임의의 두 원의 넓이의 비가 그 지름의 제곱의 비와 같다는, 증명하기 어려운 사실의 증명을 포함하고 있으면서도 거듭제곱이나 덧셈을 나타내는 대수기호가 전혀 보이지 않습니다.  왜냐하면 그의 서술이나 증명은 기하학적이면서 완전히 이야기 형식이기 때문입니다. 오일러가 기호를 정립하고 수학을 체계적으로 정리하기 시작하면서 수학은 비약적으로 발전하게됩니다. 어찌보면 오일러가 태어난 후에 가우스라는대천재가 태어난 것은 우연이 아니었을 수도 있습니다.

 

오일러는 평생 동안 500편 이상의 저서와 논문을 발표했는데, 연구 목록은 886항목이나 되며 현재까지 나온 그의 전집만 해도 75권에 이릅니다. 일생을 통해 그가 쓴 논문의 분량이 연평균 약 800쪽이 되는 셈입니다. 이렇게 많은 연구 업적으로 그가 살아 있는 동안 과학학술지들은 실을 글이 떨어질까봐 걱정할 필요가 없었다고합니다. 얼마나 그 양이 대단했는지 그가 죽은 후 45년이 지나서야 그의 저서들을 모두 출판할 수 있었다고 합니다. 18세기 후반에 발표된 수학에 관한 논문을 모두 모아 놓는다면 대략 3분의 1은 오일러의 펜에 의해 쓰여진 것이라는 말이 있을 정도입니다.

 

너무 연구에 몰두한 나머지, 오일러는 말년에 두 눈의 시력을 모두 잃게 됩니다. 백내장 수술로 잠시 앞이 보이는 행운을 맞았지만, 그 후에는 눈에 엄청난 고통을 느끼고, 다시 시력을 잃게 되면서. 17년 동안이나 맹인으로 살게 됩니다. 수학계의 베토벤이죠. (베토벤이 음악계의 오일러일 수도..) 시력을 잃은 후부터는 옆에 하인이 오일러가 불러주는 수식과 증명을 적으며 논문을 쓰는데 하인이 받아적는 속도보다 오일러가 암산하는 속도가 빨랐다고 전해집니다. 1783년 9월 18일 오전에 오일러는 팽창하는 풍선의 속도를계산하고 오후에는 동료와 함께 새로 발견된 천왕성의 궤도에 대해 대화를 나눴습니다. 저녁 식사를 마친 후, 파이프를 물고 휴식을 취하면서 어린 손자들과 놀아 주던 그는 갑자기 뇌출혈을 일으키며 쓰러졌고 몇 시간 후에 사망했습니다. 오일러의 업적은 너무나도 많아 이 짧은 영상 모든 것을 담을 수는 없었습니다. 오일러를 가장 좋아하는 한 사람으로서 더 많은 것을 담고 싶지만 주제 하나하나가 방대하다보니 앞으로 추가적으로 정리해보고자 합니다. 여러분들도 좋아하는 수학자 한명 씩은 마음 속에 품길 바라며 오늘 수업은 여기까지